【数学-算法】1加到100的有趣算法

2024-06-05 16:45:42

今天备考软件设计师，遇到个公式1+2+3+..+n=n(n+1)/2，居然一时卡壳无法证明。

我们先看看令高斯闻名世界的小学数学题，1+2+3+...+98+99+100=?

算法1：逐个累加。

算法2：逐对的首尾相加： (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51) ，总共有 50对101，就是50*101=5050。

算法3：创造出一个相反的计算式 100+99+98+...+3+2+1，它与1+2+3+...+99+100的结果是相同的，两个式子一一对应相加，总共是100个101，就是100*101，然后再除2，就是100*101/2 = 5050。

这三个算法，显然第三个更直观更清晰。让我感到惊奇的是它的创造性，它没有直接去求解问题，而是创造性的提出一个新问题，然后利用这个多余的新问题与题目之间的独特关系，从而简化了原问题的求解。不得不说，真的不是一般没有受过数学训练的人能想到的。

我们再用算法2和3去推导公式：1+2+3+..+n=n(n+1)/2。

算法2：

n为偶数时，逐对进行首尾相加，刚好有n/2对，每对的和是n+1，二者相乘就是和：(n+1)n/2。

比如：1+2+3+4。

n为奇数时，这时有2种方法。

方法1：先累加前n-1，即先计算：1+2+3+..+n-1，套用偶数的公式，结果前n-1项的和是 n(n-1)/2，然后再加上n，就是 n+n(n-1)/2 = n(n+1)/2。

方法2：逐对进行首尾相加，会有(n-1)/2对，每对的和是n+1，但中间剩下个单项，是 (n+1)/2，两个部分加起来，就是：(n+1)(n-1)/2 + (n+1)/2 = (n+1)n/2。

比如：1+2+3+4+5。

算法3（清晰易懂）：

要求1+2+3+...+(n-1)+n

构造n+(n-1)+...+3+2+1

二者上下对应相加，得到：

(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)+(n+1)

容易看出，是n个n+1相加，即 n*(n+1)

因构造的算式与要求的算式值相等，所以刚才的结果除2，即 n(n+1)/2 为最终结果。

看完算法3是不是感觉眼前一亮，非常清晰。

不得不感慨：数学真的是精妙！

写于湖北省图，2019.10.26

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