文章目录

一、Gauss 消元法
- 1.顺序高斯消元法
- - 总计算量
- 2.主元素高斯消元法
- - 列主元素高斯消元法
- 3.高斯-约当（Gauss-Jordan）消去法
- - 总计算量
二、矩阵三角分解法
- 1.直接三角分解法（LU分解、Doolittle分解）
- - 条件：
  - 计算顺序
  - 计算公式
  - 计算量
  - 优点
三、Cholesky分解法（平方根法）
- 条件
- 分解结果
- 计算L的步骤
- - Step1，计算对角元素
  - Step2，计算同列其他元素
- 改进的Cholesky分解法
- - Step 1. 计算 D 值
  - Step 2. 计算第j列的L值
追赶法
- 条件
- 求解过程
误差分析
- 性质

一、Gauss 消元法

Gauss消元法较为简单，只会简单叙述。

1.顺序高斯消元法

通过对方程组的增广矩阵进行初等行变换将矩阵变为上三角矩阵。
再通过回代求得原方程组的解。

总计算量

13n3+n2−13n2\frac{1}{3}n^3+n^2-\frac{1}{3}n^231n3+n2−31n2

2.主元素高斯消元法

为了控制舍入误差的扩大和传播而提出的。

列主元素高斯消元法

将该列绝对值尽可能大的系数作为第k步消元的主元素

3.高斯-约当（Gauss-Jordan）消去法

每次消去对角线下方和上方的元素
每次消元过程中，选取列主元素。

总计算量

12n3+12n2\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{2}n^221n3+21n2
计算量比高斯消去法计算量大，但不需要回代。

二、矩阵三角分解法

1.直接三角分解法（LU分解、Doolittle分解）

条件：

矩阵A的各阶顺序主子式都不为0（可逆）。

计算顺序

先计算第一行，从左到右依次计算 uuu ，yyy。
再计算第一列，从上到下计算 lll。
按照前两部依次计算第二行到最后一行。

计算公式

设矩阵 AAA 的增广矩阵 AAA 为 A[n+1][n+2];A[n+1][n+2];A[n+1][n+2]; 下标为0的元素位置为0.
A=(a11a12⋯a1n∣b1a21a22⋯a2n∣b2⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣bn)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & |& b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & |& b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} & |& b_n \end{array}\right)A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞

则有：

for(int i=1;i<=n;i++){//i表示计算的层数//对于第i层//先计算u,y值,用u值替换a值,用y值替代b值for(int k=i;k<=n+1;k++){for(int r = 1; r < i; r++)A[i][k] = A[i][k] -  A[i][r]*A[r][k];}//再计算l值，替代下三角的a值for(int k = i + 1; k <= n; k++){for(int r = 1; r<i; r++){A[k][i] = A[k][i] - A[k][r]*A[r][i];}A[k][i] /= A[k][k];}}

替换后的值如下：
L&U&y=(u11u12u13⋯u1n∣y1l21u22u23⋯u2n∣y2l31l32u33⋯u3n∣y3⋮⋮⋮⋮⋮ln1ln2⋯⋯unn∣yn)\boldsymbol{L\&U\&y}=\left(\begin{array}{ccccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n} & |&y_1\\ l_{21} & u_{22} & u_{23} & \cdots & u_{2n} & |&y_2\\ l_{31} & l_{32} & u_{33} & \cdots & u_{3n} & |&y_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & &\vdots\\ l_{n 1} & l_{n 2} & \cdots & \cdots & u_{nn} & |&y_n \end{array}\right)L&U&y=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛u11l21l31⋮ln1u12u22l32⋮ln2u13u23u33⋮⋯⋯⋯⋯⋯u1nu2nu3n⋮unn∣∣∣∣y1y2y3⋮yn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞

及：u34(黑色)−=红色部分的计算值u_{34}(黑色) -= 红色部分的计算值u34(黑色)−=红色部分的计算值(y值同理)

及：
l43(黑色)−=红色部分的计算值l_{43}(黑色) -= 红色部分的计算值l43(黑色)−=红色部分的计算值
然后，
l43(黑色)/=橙色（橙色为对角线上的值）l_{43}(黑色) /= 橙色（橙色为对角线上的值）l43(黑色)/=橙色（橙色为对角线上的值）

最后通过计算Ux=yUx = yUx=y得出xxx。用xxx的值替代yyy值。
有

for(k=i+1;k<n;k++)for(k=i+1;k<n;k++)for(k=i+1;k<n;k++)
A[i][n+1]=A[i][n+1]−A[i][k]∗A[k][n+1]A[i][n+1] = A[i][n+1] - A[i][k]*A[k][n+1]A[i][n+1]=A[i][n+1]−A[i][k]∗A[k][n+1]

A[i][n+1]/=A[i][i]A[i][n+1] /=A[i][i]A[i][n+1]/=A[i][i]
即：黑色=黑色−红色的积和黑色 = 黑色 - 红色的积和黑色=黑色−红色的积和
再计算：黑色=黑色/橘色黑色 = 黑色 / 橘色黑色=黑色/橘色

计算量

也是 13n3\frac{1}{3}n^331n3数量级,与高斯消元法计算量基本相同。

优点

若是有多个系数矩阵相同而右边项不同的一系列方程组，用直接三角分解法更简单。

三、Cholesky分解法（平方根法）

条件

系数矩阵AAA对称，即A=ATA = A^TA=AT
系数矩阵AAA正定，即AAA的特征值均为正值。

分解结果

可以将AAA唯一的分解为A=LLTA = LL^TA=LLT
L=(l110⋯0l21l22⋯0⋮⋮⋱⋮ln1ln2⋯lnn)L=\left(\begin{array}{cccc} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ l_{n 1} & l_{n 2} & \cdots & l_{n n} \end{array}\right)L=⎝⎜⎜⎜⎛l11l21⋮ln10l22⋮ln2⋯⋯⋱⋯00⋮lnn⎠⎟⎟⎟⎞

计算L的步骤

从外层向内侧依次计算。同LULULU分解。

Step1，计算对角元素

lkk=akk−∑p=1k−1lkp2\begin{array}{c} l_{k k}=\sqrt{a_{k k}-\sum_{p=1}^{k-1} l_{k p}^{2}} \end{array}lkk=akk−∑p=1k−1lkp2

对角元素=对角元素−红色部分的积和对角元素 = 对角元素 - 红色部分的积和对角元素=对角元素−红色部分的积和（注意：A为对称矩阵。即：a14=a41a_{14}=a_{41}a14=a41）
对角元素=对角元素对角元素 = \sqrt{对角元素}对角元素=对角元素

Step2，计算同列其他元素

lik=(aik−∑p=1k−1liplkp)/lkk,i=k+1,k+2,⋯,n\begin{array}{c} l_{i k}=\left(a_{i k}-\sum_{p=1}^{k-1} l_{i p} l_{k p}\right) / l_{k k}, \\ i=k+1, k+2, \cdots, n \end{array}lik=(aik−∑p=1k−1liplkp)/lkk,i=k+1,k+2,⋯,n

A[i][j]=A[i][j]−红色部分的积和A[i][j]= A[i][j]- 红色部分的积和A[i][j]=A[i][j]−红色部分的积和（注意：因为A13并未更新为l13,所以要将A[1][3]替换为A[3][1]这是与UL分解不同的地方因为A_{13}并未更新为l_{13},所以要将A[1][3]替换为A[3][1]这是与UL分解不同的地方因为A13并未更新为l13,所以要将A[1][3]替换为A[3][1]这是与UL分解不同的地方）
A[i][j]=A[i][j]/对角元素（橘色）A[i][j] = A[i][j]/对角元素（橘色）A[i][j]=A[i][j]/对角元素（橘色）

在完成 Cholesky 分解后, 我们可分别求解以下系数矩阵。即U=LTU = L^TU=LT:

LY=b,LTX=Y\boldsymbol{L} \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{b}, \quad \boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}LY=b,LTX=Y

{y1=b1yi=bi−∑k=1i−1likyk,i=2,3,⋯,n\left\{\begin{array}{l} y_{1}=b_{1} \\ y_{i}=b_{i}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{i k} y_{k}, \quad i=2,3, \cdots, n \end{array}\right.{y1=b1yi=bi−∑k=1i−1likyk,i=2,3,⋯,n

{xn=yn/unnxi=(yi−∑k=i+1nuikxk)/uii,i=n−1,n−2,⋯,1.\left\{\begin{array}{l} x_{n}=y_{n} / u_{n n} \\ x_{i}=\left(y_{i}-\sum_{k=i+1}^{n} u_{i k} x_{k}\right) / u_{i i}, \quad i=n-1, n-2, \cdots, 1 . \end{array}\right.{xn=yn/unnxi=(yi−∑k=i+1nuikxk)/uii,i=n−1,n−2,⋯,1.

由于上述线性方程组有大量开方运算，故改进Cholesky分解法。

改进的Cholesky分解法

将AAA分解为：
A=LDLTA = LDL^TA=LDLT

Step 1. 计算 D 值

dj=ajj−∑k=1j−1ljkvjk,vjk=ljkdk,d_{j}=a_{j j}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{j k} v_{j k}, \quad v_{j k}=l_{j k} d_{k},dj=ajj−k=1∑j−1ljkvjk,vjk=ljkdk,

Step 2. 计算第j列的L值

注意：L为单位下三角矩阵。即：L矩阵的对角元素为1.
lij=(aij−∑k=1j−1likvjk)/dj,i=j+1,j+2,⋯,n.\begin{array}{c} \\ l_{i j}=\left(a_{i j}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{i k} v_{j k}\right) / d_{j}, \quad i=j+1, j+2, \cdots, n . \end{array}lij=(aij−∑k=1j−1likvjk)/dj,i=j+1,j+2,⋯,n.

在完成分解后, 我们可分别求解下列系数矩。

LY=b,DLTX=Y\boldsymbol{L Y}=\boldsymbol{b}, \quad \boldsymbol{D} \boldsymbol{L}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{Y}LY=b,DLTX=Y

追赶法

条件

三对角非线性方程组
对角占优（∣bi∣>=∣ai∣+∣ci∣|b_i|>=|a_i|+|c_i|∣bi∣>=∣ai∣+∣ci∣）

(b1c1a2b2c2⋱⋱⋱aibici⋱⋱⋱an−1bn−1cn−1anbn)(x1x2⋮xi⋮xn−1xn)=(d1d2⋮di⋮dn−1dn)\left(\begin{array}{ccccccc} b_{1} & c_{1} & & & & & \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & & & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & & & \\ & & a_{i} & b_{i} & c_{i} & & \\ & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & & a_{n-1} & b_{n-1} & c_{n-1} \\ & & & & & a_{n} & b_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{i} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} d_{1} \\ d_{2} \\ \vdots \\ d_{i} \\ \vdots \\ d_{n-1} \\ d_{n} \end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛b1a2c1b2⋱c2⋱ai⋱bi⋱ci⋱an−1⋱bn−1ancn−1bn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xi⋮xn−1xn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛d1d2⋮di⋮dn−1dn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

求解过程

通过 Gauss 消元法将其化为系数矩阵为单位上三角形矩阵的方程组
(1β11β2⋱⋱1βn−11)(x1x2⋮xn−1xn)=(γ1γ2⋮γn−1γn)\left(\begin{array}{ccccc} 1 & \beta_{1} & & & \\ & 1 & \beta_{2} & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & \beta_{n-1} \\ & & & & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \gamma_{1} \\ \gamma_{2} \\ \vdots \\ \gamma_{n-1} \\ \gamma_{n} \end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎜⎛1β11β2⋱⋱1βn−11⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn−1xn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛γ1γ2⋮γn−1γn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
回代求得方程组的解。
xn=γn,xi=γi−βixi+1,i=n−1,n−2,⋯,2x_{n}=\gamma_{n}, \quad x_{i}=\gamma_{i}-\beta_{i} x_{i+1}, \quad i=n-1, n-2, \cdots, 2xn=γn,xi=γi−βixi+1,i=n−1,n−2,⋯,2

误差分析

cond(A)=∣∣A−1∣∣⋅∣∣A∣∣cond(A) = ||A^{-1}||\cdot||A||cond(A)=∣∣A−1∣∣⋅∣∣A∣∣刻画了方程组Ax=bAx=bAx=b的病态程度，及解对A,bA,bA,b扰动的敏感程度。

性质

对可逆矩阵A，有：

cond(A)=cond(A−1)cond(A) = cond(A^{-1})cond(A)=cond(A−1)
cond(kA)=cond(A)cond(kA) = cond(A)cond(kA)=cond(A)
cond2(U)=1cond_2(U) = 1cond2(U)=1
等等

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一、Gauss 消元法

1.顺序高斯消元法

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