知道SG函数是干什么的

看了几天博弈论，今天突然豁然开朗，充分理解了SG函数，网上有讲得很好的博弈，三种基本博弈在看完后应该会理解，但是对于理解SG函数，这个链接讲的很

不错，（http://www.cnitblog.com/weiweibbs/articles/42735.html），看第一遍的时候，没人可以看的很明白，所以一定要自己在纸上根据其定义算出几个数的sg值，

例如可选步数集合为{1， 2， 3}，算出0到8的sg值，结果如下：

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

g(x) 0 1 2 3 0 1 2 3 0

然后根据计算结果，将上面的那个博客链接里的这段话（首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是

空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0）挨个字的看，看完这段话就会恍然大悟，知

道sg函数到底是干什么的。然后我想说，上面那个计算的例子其实就是巴什博奕用SG函数来做，他的SG值就是n%(k+1);

理解了SG函数后，对于组合博弈就可以解决了，但一定要记住那句话（游戏的和的SG函数值就是它的所有子游戏的SG函数值的异或），这句话很重要，也是SG的

精髓，知道这个后就可以解决下面两道关于SG函数的题了;

poj 2311 链接 http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/17242；

题目大意就是说给定一个矩形纸片，然后每个人轮流剪，谁最后剪到1*1就胜利，显然最终状态为（2,2）（2，3）（3,2）时为必输态，所以根据矩形长宽计算其SG值，

然后判断状态就可以了。代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;int sg[205][205];
int vis[205];int Sg(int n, int m)
{if(sg[n][m] != -1)return sg[n][m];memset(vis, 0, sizeof(vis));for(int i=2; i<=n-i; ++i){vis[(Sg(i, m) ^ Sg(n-i, m))] = 1;}for(int i=2; i<=m-i; ++i){vis[(Sg(n, i) ^ Sg(n, m-i))] = 1;}for(int i=0; i<205; ++i)if(!vis[i]){sg[n][m] = i;return i;}
}
int main()
{int w, h;memset(sg, -1, sizeof(sg));sg[2][2] = sg[2][3] = sg[3][2] = 0;while(scanf("%d%d", &w, &h)!=EOF){if(Sg(w, h))printf("WIN\n");elseprintf("LOSE\n");}return 0;
}

还有一道类似的题目，hdu 5795 链接：

题目大意，两个人玩改进版的尼姆博弈游戏，在原先的基础上，某个人可以将一堆石子分为非空的三堆，然后判断输赢，这道题可以考虑在一堆的情况下的SG值，打表后

会发现规律，打表代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>using namespace std;int sg[110];
bool vis[1100];int Sg(int x)
{memset(vis, 0, sizeof(vis));for(int i=0; i<x; i++){vis[sg[i]] = true;}int ans;for(int i=1; i<x; i++){for(int j=1; j+i<x; j++){vis[sg[i]^sg[j]^sg[x-i-j]] = true;}}for(int i=0; i<=1000; i++)if(!vis[i])return i;
}
int main()
{memset(sg,-1,sizeof(sg));sg[0] = 0;for(int i=1; i<=100; i++){sg[i] = Sg(i);}for(int i=0; i<=100; i++){printf("sg[%d] = %d\n", i, sg[i]);}return 0;
}

ac代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;int main()
{int T, n, t;scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%d", &n);int sum = 0;for(int i=1; i<=n; ++i){scanf("%d", &t);if(t%8 == 0) t--;else if(t%8 == 7) t++;sum ^= t;}if(sum)printf("First player wins.\n");elseprintf("Second player wins.\n");}return 0;
}

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