在一个大盒子里，装着黑白两种颜色的许多围棋棋子，怎么才能知道哪种颜色的棋子多一些呢? 一种办法是分别数出它们的个数，进行比较；另一种办法是，每次同时取出一黑一白两种棋子，一直取下去，如果最后只剩下某种颜色的棋子，就说明这种颜色的棋子多，如果刚好取完，就说明两种颜色的一样多。

但是，假如那个大盒子里装着无穷多个棋子，那就没有办法把两种颜色的棋子分别数出个数来、再比较多少了，因为，至少有一种颜色的棋子是无穷多的。但是后一种办法却仍然可以使用：如果取了若干次之后，盒子里只剩下某一种颜色的棋子，就可知道这种颜色的棋子多，而且是多得多了。如果拿出一个黑的，总能再拿出一个白的；拿出一个白的，也总能再拿出一个黑的，就说明它们是同样多的。

整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块。但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪的大科学家伽利略发现，当涉及到无穷多个物品时，情况可就大不一样了。

比如有人问你：整数和偶数哪一种数多呢？也许你会认为：当然是整数比偶数多，而且是多一倍。如果从1 数到100，那么就有100个整数，而其中只有50个偶数。那要是无穷多个整数和偶数呢？我们可以用“一一对应”的方法来比较一下：

甲：1， 2， 3， 4， 05， 06， 07， 08，……

乙：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，……

这样你来我往，可以一直进行下去……总之，你给出一个整数，都能有一个整数相应给出来，也就是可以“一一对应”，所以说，偶数和整数一样多。

但是我们知道，整数是由奇数和偶数构成的，一般都认为整数的个数多于奇数或偶数的个数，也就是整体必然大于部分。但上面的例子却说明：整数的个数与奇数或偶数的个数一样多。

事实上，这样的例子还有很多，我们再看一个几何方面的例子：

如图，直角△ABC中，∠C=90°，在斜边AB上任取一点，向直角边BC作垂线，垂足在BC上，我们会发现，对于斜边AB上的任意一点，直角边BC上都有一个点与它“一一对应”，因此斜边AB上的点与直角边BC上的点一样多，即斜边AB与直角边BC一样长。

看，多么奇怪的结论！偶数(奇数)与整数一样多，斜边与直角边一样长。

为什么会出现这样的奇怪结论？难道我们以前学习的结论是错的？

其实，上面的两个结论并不奇怪，我们以前学习的结论也没有错，问题是这些结论成立的前提不同。

我们以前学习的结论是在有穷的情况下研究的，而上面的两个结论是在无穷的情况下研究的。比较两个无穷集合的方法是给两组无穷大数列中的每一个数一一配对，如果这两组最后一个都不剩，这两组无穷大就是相等的；如果有一组还有些没有配完，这一组就比另一组大些。这种方法显然是合理的也是唯一可行的方法。但是当把这种方法实际应用时，会得到许多令人大吃一惊的结论。根据上述比较无穷大数的原则，偶数的数目与整数的数目是同样多的。当然，这个结论看起来是非常荒谬的，因为偶数只是整数的一部分，这与整体大于部分的直觉显然矛盾。由于这种矛盾首先是伽利略发现的，故称“伽利略悖论”。集合论创始人康托尔认为，伽利略悖论并非什么“悖论”。任何两组东西，只要能相互一一对应，就是一样多。“整体大于部分”这条规律只有在有穷的情况下正确。在无穷大的世界里，部分可能等于全体！这就是无穷的本质。

集合是具有某种特定性质的事物的总和。这里的“事物”包含的对象非常丰富，可以是人，比如在做广播操时，各个班级的同学站在一起，每一个班级的同学都组成了一个集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就组成了一个黑板擦的集合；也可以是数学元素，比如所有正整数组成了一个集合，所有无理数组成了一个集合。

19世纪70年代康托尔创立了著名的集合论。康托尔为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。

在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。

19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象─连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。

集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。

在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾。高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是一种说话的方式… …”柯西也不承认无穷集合的存在。他不能允许部分同整体构成一一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。它定义了基数，可数集合等概念。并且证明了实数集是不可数的代数数是可数的。康托最初的证明发表在1874年的一篇题为《关于全体实代数数的特征》的文章中，它标志着集合论的诞生。

由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。

危机产生后，众多数学投入到解决危机的工作中去。1908年，德国数学家策梅罗(E.Zermelo)提出公理化集合论，试图把集合化的方法来消除悖论，他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的，策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然。策梅罗的公理化集合论后来演变为ZF或ZFS公理系统。从此原本直观的集合概念被建立在严格的公理化基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论，公理化集合论是对朴素集合论的严格处理，它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论。

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