线性代数【8】-1 线性方程组 - 非常重要的概念 - 三个基本的问题
本文，主要来自于施光燕老师的视频：
认识一个人，不能光看外表，要角度观察这个人，甚至要了解他的性格，才能真正了解这个人。
这正如线性方程组的多种表达。
1线性方程组的几种表达形式：
- 一般形式
- 增广阵形式
- 未知数阵矩阵形式
- 向量形式
【这一段内容，施光燕老师讲的非常精彩，他从一个线性方程组的普通形式，过渡到一个不需要附加说明的标准的矩阵表达，中间的理由非常贴切生动】
【X为未知数矩阵，在国外又叫变量矩阵】
这四种表述中，其中第二种表述需要附加说明，而第三种矩阵表述，则比较清晰，不需要附加说明。其中，第三种矩阵表述，简化为：
【A】系数阵 【X】未知数矩阵 B【右端矩阵】
上例为，m = 2，n =3，表述为，2个方程，3个未知数。
第四种表述，用上面的例子可以表述为：【系数为向量的形式】
【既然可表示向量的形式，那么就可以从向量的角度去分析，
方程的解的判断就变成了，求问一个已知的向量，能不能由其他三个系数向量进行线性表述的问题了。
】
对于第4种例子，我们可以理解为，右端解的矩阵如果可以由系数矩阵表述，那么这个方程就有解。
2 线性方程组的解法：
2.1 用增广阵做初等行变换的方法变成阶梯阵然后求解。
【Franklin,案,
我们
- 首先的目标是通过初等的行变换,将线性方程化成阶梯阵,图1的右侧,出现了一个0,这就是阶梯阵了.
- 我们从含0的方程入手,先做了
对
的表达,图2
- 然后,将图2式子代入下面的式子,得到,图3
- 然后,我们把式子变换成左边是未知数矩阵,右边是一个x3为可以任意取值的自由变量,图4
】
[图1]
[图2]
[图3]
[图4]
X3 = X3,第三行,常数项为0,X3的系数为1,这样把整个线性方程组写成如下形式:
未知数矩阵 = 系数矩阵 + 常数矩阵[这就是线性方程的一般解]
解齐次方程组。
[右边都是0,所以是齐次线性方程组]
从最后一个非零行开始，解出一个变量
这样变成两个方程，四个未知数，其中，两个是自由变量，可以任意取值。
其中，没有常数，所以，常数向量矩阵为0，省略。
表示为未知数向量，X1X2X3.
现在，我们分析左边X3的系数，根据上面的表达，有X1,X2的表达式里面有X3，我们填进去。然后，因为X3=X3,X4为自由变量，任意取值，没有关系，可以认为是0倍的X3,于是有：
同样的方法，分析X4的系数。
解非齐次方程【右端不全部为0】
【由增广阵到阶梯阵，于是，可以进行求解，从最后一个非零行开始进行求解将，
现在，根本不需要计算，几乎可以直接写出最后一行的方程式，有关于X2的表达式，同样由第一行，得出X1的表达式】
然后，整理为一般解的形式。
以上就是线性方程组的一般解。
3 线性方程组的理论：
m个方程，n个未知数。
线性方程组就是回答上述三个问题：【这是一个数学建模的问题】
是否有解，解是否唯一，如果不唯一，那个是我们需要的解。如果解不唯一，如何掌握解的全体，从而不遗漏我们的答案。
3.1 是否有解：
【将增广阵进行初等行变换，】
【案，从第3行看，线性方程组是无解的，因为未知数的系数都是0了，而在等式右侧确有常数项，显然无解，反之应该有解】
【但是，我们如何去刻画这个情况呢，如果不是面对面的说明，如何解释?】
【非零行的行数就是秩，所以，我们就可以用秩来刻画这个问题，可以简单清楚的说明这个问题】
从无解的系数矩阵A的秩，和增广矩阵的AB秩来看，前者的秩为2，后者的秩为3，不等。
所以，我们可以得出上述结论：
X2代入与，得X1的表达式，
由此得方程组的一般解为：
这个就是我们的一般解。
【这里，对应齐次线性方程组来说，右边都是0，那么A和AB的秩显然一定是一样的】
【也就是齐次线性方程组一定有非零解】
【结论： 系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，是判断一个线性方程组有解的充分必要条件】
视频地址如下：
线性代数06-施光燕教授--线性方程组1 标清-教育-高清完整正版视频在线观看-优酷 (youku.com)https://v.youku.com/v_show/id_XNjMxMzYxOTQ0
3.2 是否唯一解：
具体看下面这个问题：
【x4为自由变量】 怎么看？ 就是比较未知数的个数和秩的个数，
3.3 如果有多个解，如何掌握全体？
3.3.1 齐次线性方程的解的极大无关组【基础解系】
将解的拓展表达式，X=C1X1+C2X2 代入原来的线性方程系统，如果有解不就证明了？
上式中，X1,X2分别为AX=0的解，所以必然为0.
其中，{X|AX=0} 为解的集合，该集合中的最大无关组，
依据前面的定义，就是能够反应这个线性方程组性质的最基本的定义。又称为基础解系。
最大线性无关组 = 基础解系，掌握了基础解系就可以反映一个线性方程组的所有的解。
不在第一非零行位置的元素为自由变量，我们看，第一个非零行中，第一个非零元素是X1,第二行非零行，第一个元素是X2,他们都在非零元素的第一位置，所以，不是自由变量。
所以选X3,X4,为自由变量
那么，既然是自由变量，我们可以令，X3=1,X4=0，可到到一个解。
再令X4=1,X3=0
又得到一个解。
由此，我们可以得出刚才两个解构成的一组解，有了这组解，我们就可以表述出来，这个线性方程组的所有的解的表达形式如下：
第一行，为由两个自由向量构成的基础解系，如果我们乘上任意常数相加，就变成了这个方程组的通解。
小结：
【这是一个齐次线性方程，是一定有街道，不需要考虑有解无解的问题】
[我们把上图，再细化一下】，可以看到，只有X3不在非零行的第一个位置上。
因为只有X3是自由变量，【然后，乘上任意常数相加就是通解了】
3.3.2 非齐次线性方程的解的极大无关组【基础解系】
对于非齐次线性方程，我们用他对应的齐次线性方程来解答。
如果Y为非齐次线性方程的解，X是他对应的齐次线性方程的解，那么有，
Y+X也是这个非齐次线性方程的解。
【非齐次线性方程组的解 + 对应的齐次线性方程组的解 结果仍然是非齐次线性方程的解】
反过来，如果Y1,Y2是非齐次线性方程的两个解，那么，他们的差是他们对应的齐次线性方程的解。
由上面的性质，我们可以推理，
只需要求出一个非齐次线性方程的独特的一个解，就可以正确的求出该非齐次线性方程的所有的解。
证明，假设还有一个解，Y的拔，
而，Y的拔减去Y就是符合性质2，等于非齐次线性方程的解。
那么，就变成了性质1的表达式。所以，是成立。
由此，将自由变量都设为0，可以求出了一个非齐次线性方程AX=B的一个解，
然后，我们求齐次线性方程的基础解系
由此，【为什么要求两个齐次线性方程的解呢，因为，基础解系是一个线性组合，做了两个解，才能表达为一个线性组合】
得到非齐次线性方程的解为：【一个非齐次线性方程 + 齐次线性方程的基础解系】
小结：
【小结里面，我们看的，求解基础解系的解的个数的还好，k值为未知数系数减去秩，比如，上题是4-2=2】
举例：
步骤1：
步骤2：
我们看的，阶梯阵的非零的未知数的矢量是从X3，开始的，所以，我们选X3,
步骤3：
我们令X3=0,所以，
由第三行，-2X2 =1 ， 所以，X2 = -1/2,
代入，第一行，有X1 = 3/2
那么，我们就求到了，非齐次线性方程的一个非零解。
步骤4：
我们现在接齐次方程组的通解，
令，X3=1,
步骤5，通解：
【案】这里第二行，提取公因式
这里X2,X3其实就是构造一个单位阵。
这里第三行，因式分解
尼姆达为-2，时候，系数秩和增广矩阵的秩不同，所以，无解。
这个非齐次线性方程的，特解给了两个，那么通解要求出齐次线性方程的解即可。
首先，这是一个3未知数，4方程的解系，那么秩为2于是他的齐次线性方程的解只能是一个。
由非齐次线性方程的两个解的差，为对应的齐次线性方程的解【性质2】
AX=0的通解，就是这个乘以一个常数。
小结：线性方程式的理论：
1 线性方程组的有解无解的判断： 系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等
2 是不是唯一解：看系数矩阵秩和未知数的个数
3 齐次线性方程组的通解的结构
4 非齐次线性方程组的通解。
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