平均绝对误差（MAE）、对数平均绝对误差（LMAE）、指数平均绝对误差（EMAE）用法的不同与相似之处

1.概述
平均绝对误差（MAE）、对数平均绝对误差（LMAE）、指数平均绝对误差（EMAE）都是用来描述两条序列间各点的平均偏差程度的，区别在于他们受残差（特别是残差的离群值）的影响程度不同，按影响程度由小到大依次是：LMAE<MAE<EMAE。因为做对数变换会压缩残差，而做指数变换会拉伸残差。将它们用作目标函数时的差别，类似于做最小二乘OLS时，对目标函数SSE的各点做加权操作，使某些偏差点占大权重，某些偏差点占小权重；参见statsmodels.api.WLS（Weighted Least Squares）。
2.下面给出测试代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import pearsonrfreq = 'D'
t0 = '2020-01-01'
data_length = 7*10
num_ts = 3
period = 7
fit_series, origin_series = [], []
time_ticks = np.array(range(data_length))
index = pd.date_range(t0, periods=data_length, freq='D')
np.random.seed(0)
level = 10 * np.random.rand()for k in range(num_ts):# generate fitting datanp.random.seed(k+10)seas_amplitude_fit = (0.1 + 0.3*np.random.rand()) * levelsig_fit = 0.05 * level  # noise parameter (constant in time)source_fit = level + seas_amplitude_fit * np.sin(time_ticks * (2 * np.pi) / period)noise_fit = 0.1 * sig_fit * np.random.randn(data_length)data_fit = source_fit + noise_fitfit_series.append(pd.Series(data=data_fit, index=index))# generate origin datanp.random.seed(k+10)seas_amplitude_origin = (0.2 + 0.3 * np.random.rand()) * levelsig_origin = 0.5 * level  # noise parameter (constant in time)source_origin = level + seas_amplitude_origin * np.sin(time_ticks * (2 * np.pi) / period)noise_origin = 0.5 * sig_origin * np.random.randn(data_length)data_origin = source_origin + noise_originorigin_series.append(pd.Series(data=data_origin, index=index))# plot the two contrast seriesplt.figure()fit_series[k].plot()origin_series[k].plot()plt.title('contrast fit_series and origin series')plt.show()def MAE(Y, y):"""param：Y: 原始序列（假定波动较大）y: 拟合序列（假定波动较小）return：MAE值，该值的大小与两条序列间平均偏差程度成正比，该值越大，平均偏差程度越大；两序列间的残差（特别是残差的离群值）对MAE的影响比LMAE大，比EMAE小。"""Y, y = np.array(Y), np.array(y)mae = sum(abs(Y - y)) / len(Y)return maedef LMAE(Y, y, a=np.exp(1)):"""param：Y: 原始序列（假定波动较大）y: 拟合序列（假定波动较小）a: 对数的底数，大于1，作用于换底公式，使所有对数函数为单调递增函数；该值越大，则两序列间的残差（特别是残差的离群值）对LMAE返回值影响的弱化作用越明显。return：对数MAE值，该值的大小与两条序列间平均偏差程度成正比，该值越大，平均偏差程度越大；但两序列间的残差（特别是残差的离群值）对LMAE的影响比MAE小。"""Y, y = np.array(Y), np.array(y)Y[Y < 0] = 0  # 使对数的真数≥1，从而使所有对数值非负，便于统一比较。y[y < 0] = 0lmae = sum(abs(np.log(abs(Y+1)) / np.log(a) - np.log(abs(y+1)) / np.log(a))) / len(Y)return lmaedef EMAE(Y, y, a=1.2):"""param：Y: 原始序列（假定波动较大）y: 拟合序列（假定波动较小）a: 指数的自变量，≥1，该值越大，则两序列间的残差（特别是残差的离群值）对EMAE返回值影响的强化作用越明显；当a=1时，EMAE化简为MAE。return：指数MAE值，该值的大小与两条序列间平均偏差程度成正比，该值越大，平均偏差程度越大；且两序列间的残差（特别是残差的离群值）对EMAE的影响比MAE大。"""Y, y = np.array(Y), np.array(y)Y[Y < 0] = 0  # 使指数的底数≥1，则所有指数均为递增函数y[y < 0] = 0emae = sum(abs((Y+1)**a - (y+1)**a)) / len(Y)return emaea, b, c = [], [], []
for k in range(num_ts):a.append(MAE(origin_series[k], fit_series[k]))b.append(LMAE(origin_series[k], fit_series[k]))c.append(EMAE(origin_series[k], fit_series[k]))
print(' 每对序列的MAE：', '\n', a, '\n', '每对序列的LMAE：', '\n', b, '\n', '每对序列的EMAE：', '\n', c, '\n')
print(' EMAE - MAE', '\n', np.array(c)-np.array(a), '\n', 'MAE - LMAE', '\n', np.array(a)-np.array(b), '\n')
print(' MAE与LMAE间的相关程度：', '\n', pearsonr(a, b), '\n', 'MAE与EMAE间的相关程度：', '\n', pearsonr(a, c), '\n','LMAE与EMAE间的相关程度：', '\n', pearsonr(c, b), '\n')

3.结果分析
3.1. 从以上三图可以看到，Figure2的平均偏差最小，Figure3的平均偏差最大。
3.2. 从数值结果也可以看到，每对序列的MAE、LMAE、EMAE，都是第二列数值最小（对应Figure2），第三列数值最大（对应Figure3），与三张图的偏差程度相符。
3.3. 三对序列的EMAE－MAE均为正，说明EMAE放大了残差；MAE－LMAE均为正，说明LMAE缩小了残差，与公式的作用是相符的。
3.4. 三对序列的MAE、LMAE、EMAE的相关系数都很高，P值都很小，说明MAE、LMAE、EMAE几乎完全正相关，则三种指标对序列间平均偏差程度的判断结果几乎是完全等效的，采用任何一种均可。
3.5. 对于r和P值的解释：例如三对序列的MAE与LMAE的r≈99.95%，P-value≈1.97%，说明对于[1.1384901846078306, 1.0264781458259842, 1.3147042766176245] 与[0.19016978075266716, 0.16388341516116947, 0.22711381950612006]这两条序列，从不相关系统中产生线性相关程度为99.95%的这样两条序列的概率为1.97%，而在一次试验中这样小概率的事件是不可能发生的，所以我们拒绝这两条序列是从不相关系统中产生的这一原假设，转而接受这两条序列是线性相关的这一备择假设。

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