C语言中整数除法向上取整的数学证明

2024-05-30 15:41:20

⌊⌋⌊⌋\lfloor\quad\rfloor为向下取整符号\qquad⌈⌉⌈⌉\lceil\quad\rceil为向上取整符号

结论：

⌈nm⌉=⌊n−1m⌋+1⌈nm⌉=⌊n−1m⌋+1\lceil \frac {n}{m} \rceil = \lfloor \frac{n-1}{m} \rfloor+1(n>0,m>0)

数学证明：

我们令n=k∗m+bn=k∗m+bn=k*m+b，其中0≤b<m0≤b<m0 \leq b

b=0b=0b=0时

⌈nm⌉=⌈k∗mm⌉=k⌈nm⌉=⌈k∗mm⌉=k\lceil \frac {n}{m} \rceil =\lceil \frac{k*m}{m} \rceil = k

⌊n−1m⌋+1=⌊n−1m+1⌋=⌊k∗m−1m+1⌋=⌊(k+1)∗m−1m⌋=⌊k+1−1m⌋=k⌊n−1m⌋+1=⌊n−1m+1⌋=⌊k∗m−1m+1⌋=⌊(k+1)∗m−1m⌋=⌊k+1−1m⌋=k\lfloor \frac{n-1}{m} \rfloor+1 =\lfloor \frac{n-1}{m} +1\rfloor=\lfloor \frac{k*m-1}{m}+1 \rfloor=\lfloor \frac{(k+1)*m-1}{m} \rfloor = \lfloor k+1-\frac{1}{m} \rfloor=k

等式的左边===等式的右边
结论得证。

b>0" role="presentation">b>0b>0b>0时

⌈nm⌉=⌈k∗m+bm⌉=⌈k+bm⌉=k+1⌈nm⌉=⌈k∗m+bm⌉=⌈k+bm⌉=k+1\lceil \frac {n}{m} \rceil =\lceil \frac{k*m+b}{m} \rceil = \lceil k + \frac{b}{m} \rceil = k+1

⌊n−1m⌋+1=⌊n−1m+1⌋=⌊k∗m+b−1m+1⌋=⌊(k+1)∗m+b−1m⌋=⌊k+1+b−1m⌋⌊n−1m⌋+1=⌊n−1m+1⌋=⌊k∗m+b−1m+1⌋=⌊(k+1)∗m+b−1m⌋=⌊k+1+b−1m⌋\lfloor \frac{n-1}{m} \rfloor+1 =\lfloor \frac{n-1}{m} +1\rfloor=\lfloor \frac{k*m+b-1}{m}+1 \rfloor=\lfloor \frac{(k+1)*m+b-1}{m} \rfloor = \lfloor k+1+\frac{b-1}{m} \rfloor

因为1≤b<m1≤b<m1 \leq b （通式中:0≤b<m0≤b<m0 \leq b ，然后看上面的红色字体），所以0≤b−1m<10≤b−1m<10 \leq \frac{b-1}{m}

所以⌊k+1+b−1m⌋=k+1⌊k+1+b−1m⌋=k+1\lfloor k+1+\frac{b-1}{m} \rfloor=k+1

等式的左边==<script type="math/tex" id="MathJax-Element-225">=</script>等式的右边
结论得证。

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