CW测速雷达原理介绍

多普勒频率

固定放置的雷达发出特定频率的发射信号，遇到静止物体产生的反射信号频率并不改变，而遇到运动物体产生的反射波将会发生多普勒频移。如下图所示
图中，VVV表示汽车行驶速度，ccc表示电磁波传播速度，λt{{\lambda }_{t}}λt表示雷达发射波的波长，λr{{\lambda }_{r}}λr表示回波信号的波长。
将雷达的接收信号与回波信号进行混频，产生低频信号，即为多普勒信号。
假设雷达发射信号表示为
st(t)=Acos⁡(ω0t+φ){{s}_{t}}\left( t \right)=A\cos \left( {{\omega }_{0}}t+\varphi \right)st(t)=Acos(ω0t+φ)
式中，ω0{{\omega }_{0}}ω0为发射角频率，φ\varphiφ为初相，AAA为振幅。
回波信号sr(t){{s}_{r}}\left( t \right)sr(t)可以表示为
sr(t)=kst(t−tr)=kAcos⁡[w0(t−tr)+φ]{{s}_{r}}\left( t \right)=k{{s}_{t}}\left( t-{{t}_{r}} \right)=kA\cos \left[ {{w}_{0}}\left( t-{{t}_{r}} \right)+\varphi \right]sr(t)=kst(t−tr)=kAcos[w0(t−tr)+φ]
式中，tr=2R/c{{t}_{r}}=2R/ctr=2R/c，表示回波信号滞后于发射信号的时间，kkk为回波的衰减系数。
如果目标固定不动，则距离RRR为常数。回波与发射信号之间有固定的相位差
ω0tr=2πf0⋅2R/c=(2π/λ)2R{{\omega }_{0}}{{t}_{r}}=2\pi {{f}_{0}}\cdot 2R/c=\left( 2\pi /\lambda \right)2Rω0tr=2πf0⋅2R/c=(2π/λ)2R
当目标与雷达之间存在相对运动，则距离RRR随时间变化。设目标以匀速相对雷达运动，则在时间ttt时刻，目标与雷达间的距离R(t)R\left( t \right)R(t)为
R(t)=R0−vrtR\left( t \right)={{R}_{0}}-{{v}_{r}}tR(t)=R0−vrt
上式表明，在ttt时刻接收到的波形sr(t){{s}_{r}}\left( t \right)sr(t)上的点，是雷达在t−trt-{{t}_{r}}t−tr时刻发射的。因为通常雷达和目标间的相对运动速度vr{{v}_{r}}vr远小于电磁波速度ccc，所以时延tr{{t}_{r}}tr可以表示为
tr=2R(t)c=2c(R0−vrt){{t}_{r}}=\frac{2R\left( t \right)}{c}=\frac{2}{c}\left( {{R}_{0}}-{{v}_{r}}t \right)tr=c2R(t)=c2(R0−vrt)
回波信号和发射信号相比，高频相位差为
φ=−ω0tr=−ω02c(R0−vrt)=−2π2λ(R0−vrt)\varphi =-{{\omega }_{0}}{{t}_{r}}=-{{\omega }_{0}}\frac{2}{c}\left( {{R}_{0}}-{{v}_{r}}t \right)=-2\pi \frac{2}{\lambda }\left( {{R}_{0}}-{{v}_{r}}t \right)φ=−ω0tr=−ω0c2(R0−vrt)=−2πλ2(R0−vrt)
是时间ttt的函数，在径向速度vr{{v}_{r}}vr为常数时，产生频率差为
fd=12πdφdt=2λvr{{f}_{d}}=\frac{1}{2\pi }\frac{d\varphi }{dt}=\frac{2}{\lambda }{{v}_{r}}fd=2π1dtdφ=λ2vr
上述公式即是多普勒频率的公式

测速原理

根据前面的分析，CW体制雷达的回波信号是含有速度信息的正弦信号。如果速度恒定，则天线的输出信号是单一频率的正弦信号。
假设单一频率的实正弦信号可以表示为
x(t)=acos⁡(2πf0t+θ0)x\left( t \right)=a\cos \left( 2\pi {{f}_{0}}t+{{\theta }_{0}} \right)x(t)=acos(2πf0t+θ0)
其中，aaa为正弦信号的幅度，f0{{f}_{0}}f0为正弦信号的频率，θ0{{\theta }_{0}}θ0为正弦信号的初相。对上述信号进行采样，采样周期为Ts{{T}_{s}}Ts，采样频率为fs{{f}_{s}}fs，则可以得到长度为N的序列x(n)x\left( n \right)x(n)
x(n)=acos⁡(ω0n+θ0)n=0,1,2,...,N−1x\left( n \right)=a\cos \left( {{\omega }_{0}}n+{{\theta }_{0}} \right)n=0,1,2,...,N-1x(n)=acos(ω0n+θ0)n=0,1,2,...,N−1
由于
ω0=2πf0Ts{{\omega }_{0}}=2\pi {{f}_{0}}{{T}_{s}}ω0=2πf0Ts
x(n)x\left( n \right)x(n)的DTFT变换为
X(ejω)=a2ejθ0δ(ω−ω0)+a2e−jθ0δ(ω+ω0)X\left( {{e}^{j\omega }} \right)=\frac{a}{2}{{e}^{j{{\theta }_{0}}}}\delta \left( \omega -{{\omega }_{0}} \right)+\frac{a}{2}{{e}^{-j{{\theta }_{0}}}}\delta \left( \omega +{{\omega }_{0}} \right)X(ejω)=2aejθ0δ(ω−ω0)+2ae−jθ0δ(ω+ω0)
设所采用的窗函数为矩形窗RN(n){{R}_{N}}\left( n \right)RN(n)，则它的DTFT变换为
H(ejω)=sin⁡(ωN2)sin⁡(ω2)e−jωN−12H\left( {{e}^{j\omega }} \right)=\frac{\sin \left( \frac{\omega N}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\omega }{2} \right)}{{e}^{-j\omega \frac{N-1}{2}}}H(ejω)=sin(2ω)sin(2ωN)e−jω2N−1
考虑到v(n)=x(n)∗RN(n)v\left( n \right)=x\left( n \right)*{{R}_{N}}\left( n \right)v(n)=x(n)∗RN(n)，根据频域卷积定理，时域的乘积对应于频域的卷积，所以v(n)v\left( n \right)v(n)的DTFT变换为
V(ejω)=a2sin⁡[(ω−ω0)N2]sin⁡(ω−ω0)2e−j(ω−ω0)N−12+jθ0+a2sin⁡[(ω+ω0)N2]sin⁡(ω+ω0)2e−j(ω+ω0)N−12−jθ0\begin{aligned} & V({{e}^{j\omega }})=\frac{a}{2}\frac{\sin \left[ \frac{\left( \omega -{{\omega }_{0}} \right)N}{2} \right]}{\sin \frac{\left( \omega -{{\omega }_{0}} \right)}{2}}{{e}^{-j\left( \omega -{{\omega }_{0}} \right)\frac{N-1}{2}\text{+}j{{\theta }_{0}}}} \\ & +\frac{a}{2}\frac{\sin \left[ \frac{\left( \omega +{{\omega }_{0}} \right)N}{2} \right]}{\sin \frac{\left( \omega +{{\omega }_{0}} \right)}{2}}{{e}^{-j\left( \omega +{{\omega }_{0}} \right)\frac{N-1}{2}-j{{\theta }_{0}}}} \\ \end{aligned} V(ejω)=2asin2(ω−ω0)sin[2(ω−ω0)N]e−j(ω−ω0)2N−1+jθ0+2asin2(ω+ω0)sin[2(ω+ω0)N]e−j(ω+ω0)2N−1−jθ0
考虑到v(k)v\left( k \right)v(k)是v(ejω)v\left( {{e}^{j\omega }} \right)v(ejω)的频域离散化表示，因此将v(ejω)v\left( {{e}^{j\omega }} \right)v(ejω)中的ω\omegaω用离散量2πNk\frac{2\pi }{N}kN2πk代入，即得到v(k)v\left( k \right)v(k)表达式，考虑到v(k)v\left( k \right)v(k)的对称性，只保留前半部分的表达式为
V(k)=a2sin⁡[(2πNk−ω0)N2]sin⁡(2πNk−ω0)2e−j(2πNk−ω0)N−12+jθ0V(k)=\frac{a}{2}\frac{\sin \left[ \frac{\left( \frac{2\pi }{N}k-{{\omega }_{0}} \right)N}{2} \right]}{\sin \frac{\left( \frac{2\pi }{N}k-{{\omega }_{0}} \right)}{2}}{{e}^{-j\left( \frac{2\pi }{N}k-{{\omega }_{0}} \right)\frac{N-1}{2}\text{+}j{{\theta }_{0}}}}V(k)=2asin2(N2πk−ω0)sin[2(N2πk−ω0)N]e−j(N2πk−ω0)2N−1+jθ0
V(k)V\left( k \right)V(k)的模为
∣V(k)∣=a2∣sin⁡[π(k−f0N/fs)]sin⁡π(k−f0N/fs)N∣\left| V(k) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \left( k-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right) \right]}{\sin \frac{\pi \left( k-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)}{N}} \right|∣V(k)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπ(k−f0N/fs)sin[π(k−f0N/fs)]∣∣∣∣∣
设V(k)V\left( k \right)V(k)中幅值最大的样本点的索引为k0{{k}_{0}}k0，对应的幅值记为A1{{A}_{1}}A1
A1=∣V(k0)∣=a2∣sin⁡[π(k0−f0N/fs)]sin⁡π(k0−f0N/fs)N∣{{A}_{1}}=\left| V({{k}_{0}}) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \left( {{k}_{0}}-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right) \right]}{\sin \frac{\pi \left( {{k}_{0}}-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)}{N}} \right|A1=∣V(k0)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπ(k0−f0N/fs)sin[π(k0−f0N/fs)]∣∣∣∣∣
令
δ=(k0−f0N/fs)=(k0−f0fsN)=(k0−f0Δf)\delta =\left( {{k}_{0}}-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)=\left( {{k}_{0}}-\frac{{{f}_{0}}}{\frac{{{f}_{s}}}{N}} \right)=\left( {{k}_{0}}-\frac{{{f}_{0}}}{\Delta f} \right)δ=(k0−f0N/fs)=(k0−Nfsf0)=(k0−Δff0)
则−0.5<δ<0.5-0.5<\delta <0.5−0.5<δ<0.5
A1=∣V(k0)∣=a2∣sin⁡(πδ)sin⁡πδN∣≈aN2π∣sin⁡(πδ)δ∣{{A}_{1}}=\left| V({{k}_{0}}) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left( \pi \delta \right)}{\sin \frac{\pi \delta }{N}} \right|\approx \frac{aN}{2\pi }\left| \frac{\sin \left( \pi \delta \right)}{\delta } \right|A1=∣V(k0)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπδsin(πδ)∣∣∣∣∣≈2πaN∣∣∣∣δsin(πδ)∣∣∣∣
设V(k)V\left( k \right)V(k)中幅值的次大值的样本点的索引为k2{{k}_{2}}k2，k2=k0±1{{k}_{2}}={{k}_{0}}\pm 1k2=k0±1，对应的幅值记为A2{{A}_{2}}A2
A2=∣V(k2)∣=a2∣sin⁡[π(k2−f0N/fs)]sin⁡π(k2−f0N/fs)N∣{{A}_{2}}=\left| V({{k}_{2}}) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \left( {{k}_{2}}-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right) \right]}{\sin \frac{\pi \left( {{k}_{2}}-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)}{N}} \right|A2=∣V(k2)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπ(k2−f0N/fs)sin[π(k2−f0N/fs)]∣∣∣∣∣
当δ<0\delta <0δ<0的时候，k2=k0+1{{k}_{2}}={{k}_{0}}+1k2=k0+1，代入得到
A2=∣V(k2)∣=a2∣sin⁡[π(k0+1−f0N/fs)]sin⁡π(k0+1−f0N/fs)N∣=a2∣sin⁡[πδ+π]sin⁡πδ+πN∣=aN2π∣sin⁡πδ1+δ∣\begin{aligned} & {{A}_{2}}=\left| V({{k}_{2}}) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \left( {{k}_{0}}\text{+}1-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right) \right]}{\sin \frac{\pi \left( {{k}_{0}}\text{+}1-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)}{N}} \right| \\ & \text{=}\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \delta +\pi \right]}{\sin \frac{\pi \delta +\pi }{N}} \right|=\frac{aN}{2\pi }\left| \frac{\sin \pi \delta }{1+\delta } \right| \\ \end{aligned} A2=∣V(k2)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπ(k0+1−f0N/fs)sin[π(k0+1−f0N/fs)]∣∣∣∣∣=2a∣∣∣∣∣sinNπδ+πsin[πδ+π]∣∣∣∣∣=2πaN∣∣∣∣1+δsinπδ∣∣∣∣
当δ>0\delta >0δ>0的时候，k2=k0−1{{k}_{2}}={{k}_{0}}-1k2=k0−1，代入得到
A2=∣V(k2)∣=a2∣sin⁡[π(k0−1−f0N/fs)]sin⁡π(k0−1−f0N/fs)N∣=a2∣sin⁡[πδ−π]sin⁡πδ−πN∣=aN2π∣sin⁡πδ1−δ∣\begin{aligned} & {{A}_{2}}=\left| V({{k}_{2}}) \right|=\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \left( {{k}_{0}}-1-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right) \right]}{\sin \frac{\pi \left( {{k}_{0}}-1-{{f}_{0}}N/{{f}_{s}} \right)}{N}} \right| \\ & \text{=}\frac{a}{2}\left| \frac{\sin \left[ \pi \delta -\pi \right]}{\sin \frac{\pi \delta -\pi }{N}} \right|=\frac{aN}{2\pi }\left| \frac{\sin \pi \delta }{1-\delta } \right| \\ \end{aligned} A2=∣V(k2)∣=2a∣∣∣∣∣sinNπ(k0−1−f0N/fs)sin[π(k0−1−f0N/fs)]∣∣∣∣∣=2a∣∣∣∣∣sinNπδ−πsin[πδ−π]∣∣∣∣∣=2πaN∣∣∣∣1−δsinπδ∣∣∣∣
综上，次大值的表达式为
A2=∣X(k2)∣=Na∣sin⁡(πδ)∣2π(1−∣δ∣){{A}_{2}}=\left| X\left( {{k}_{2}} \right) \right|=\frac{Na\left| \sin \left( \pi \delta \right) \right|}{2\pi \left( 1-\left| \delta \right| \right)}A2=∣X(k2)∣=2π(1−∣δ∣)Na∣sin(πδ)∣
次大值和最大值的比值为
α=A2A1=∣δ∣1−∣δ∣\alpha =\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{\left| \delta \right|}{1-\left| \delta \right|}α=A1A2=1−∣δ∣∣δ∣
则可以得到
∣δ∣=α1+α=A2A1+A2\left| \delta \right|=\frac{\alpha }{1+\alpha }=\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}+{{A}_{2}}}∣δ∣=1+αα=A1+A2A2
根据δ\deltaδ值可对离散频谱得到的f0{{f}_{0}}f0的估计值插值从而得到更精细的频率估计值
f0∧=(k0±∣δ∣)NTs\overset{\wedge }{\mathop{{{f}_{0}}}}\,=\frac{({{k}_{0}}\pm \left| \delta \right|)}{N{{T}_{s}}}f0∧=NTs(k0±∣δ∣)
式中符号根据k2{{k}_{2}}k2的位置确定，若k2=k0+1{{k}_{2}}={{k}_{0}}+1k2=k0+1取加号，反之取减号。
以上就是CW雷达测速的原理。