1. 余弦定理

余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊情况，因此，余弦定理是怎么得出来的呢？本文将在勾股定理的基础上推到出余弦定理

如上图所示：三角形ABC，其中AD垂直于BC，则根据勾股定理：c2=AD2+DCCc^2 = AD^2+DC^Cc2=AD2+DCC
其中，AD=bsinα,DC=a−BD=a−bcosαAD = bsin\alpha, DC=a-BD=a-bcos\alphaAD=bsinα,DC=a−BD=a−bcosα将这两个等式带入上式
c2=AD2+DCC=(bsinα)2+(a−bcosα)2c^2 = AD^2+DC^C=(bsin\alpha)^2+(a-bcos\alpha)^2c2=AD2+DCC=(bsinα)2+(a−bcosα)2
c2=b2sin2α+a2+b2cos2α−2abcosαc^2 =b^2sin^2\alpha+a^2+b^2cos^2\alpha-2abcos\alphac2=b2sin2α+a2+b2cos2α−2abcosα
c2=b2(sin2+cos2α）+a2α−2abcosα=b2+a2−2abcosαc^2 =b^2(sin^2+cos^2\alpha）+a^2\alpha-2abcos\alpha = b^2+a^2-2abcos\alphac2=b2(sin2+cos2α）+a2α−2abcosα=b2+a2−2abcosα
证明完毕。

2. cos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβcos(\alpha - \beta)=sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\betacos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβ

证明：

如上图所示，三角形OAB，其中A点坐标客表示为(racosα,rasinα)(r_acos\alpha, r_asin\alpha)(racosα,rasinα)，B点坐标客表示为(rbcosβ,rbsinβ)(r_bcos\beta, r_bsin\beta)(rbcosβ,rbsinβ)。则BA⃗\vec{BA}BA可以表示为(racosα−rbcosβ,rasinα−rbsinβ)(r_acos\alpha-r_bcos\beta, r_asin\alpha-r_bsin\beta)(racosα−rbcosβ,rasinα−rbsinβ)，则其长度的平方为：
∣BA⃗∣2=(racosα−rbcosβ)2+(rasinα−rbsinβ)2|\vec{BA}|^2 = (r_acos\alpha-r_bcos\beta)^2+(r_asin\alpha-r_bsin\beta)^2∣BA∣2=(racosα−rbcosβ)2+(rasinα−rbsinβ)2
展开化简得：
∣BA⃗∣2=ra2+rb2−2rarb(cosαcosβ+sinαsinβ)|\vec{BA}|^2 = r_a^2+r_b^2-2r_ar_b(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)∣BA∣2=ra2+rb2−2rarb(cosαcosβ+sinαsinβ)
同理，根据三角形的余弦定理，∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos(α−β)|AB|^2 = |OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|cos(\alpha-\beta)∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos(α−β),而|OA|的长度为rar_ara,|OB|的长度为rbr_brb，代入方程得，
∣BA⃗∣2=ra2+rb2−2rarbcos(α−β)|\vec{BA}|^2 = r_a^2+r_b^2-2r_ar_bcos(\alpha-\beta)∣BA∣2=ra2+rb2−2rarbcos(α−β)
比较上两式得，cos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβcos(\alpha - \beta)=sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\betacos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβ
证毕

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