题目链接

LOJ：https://loj.ac/problem/3086

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P5303

Solution

显然不考虑\(1\times 1\)的矩形就是斐波那契数列，设为\(g\)，则\(g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\)。

设考虑的方案数为\(f\)，那么可以枚举放哪里得到一个暴力式子：
\[ \begin{align}f_n&=2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+2}^{n}g_{i-1}\cdot g_{n-j}\\ f_n&=2\sum_{i=1}^{n}g_{i-1}\sum_{j=i+2}^{n}g_{n-j}\\ f_n&=2\sum_{j=3}^{n}g_{n-j}\sum_{i=1}^{j-2}g_{i-1}\\ f_n&=2\sum_{j=3}^{n}g_{n-j}s_{j-3} \end{align} \]
设\(s\)为\(g\)的前缀和。

然后我们考虑\(f_{n+1}\)用已知量凑出来：
\[ \begin{align} \frac{1}{2}f_{n+1}&=\sum_{i=3}^{n+1}g_{n+1-i}s_{i-3}\\ \frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+\sum_{i=3}^{n-1}g_{n+1-i}s_{i-3}\\ \frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+\sum_{i=3}^{n-1}(g_{n-i}+g_{n-i-1})s_{i-3}\\ \frac{1}{2}f_{n+1}&=s_{n-2}+s_{n-3}+\sum_{i=3}^{n}g_{n-i}s_{i-3}-s_{n-3}+\sum_{i=3}^{n-1}g_{n-i-1}s_{i-3}\\ f_{n+1}&=2s_{n-2}+f_n+f_{n-1} \end{align} \]
其实到这里已经可以矩阵维护了，但是那样矩阵会设的很大，对于前缀和我们考虑如何递推：
\[ s_n=2+\sum_{i=2}^{n}g_i=2+\sum_{i=2}^{n}g_{i-1}+g_{i-2}=s_{n-1}+s_{n-2}+1 \]
那么变一下就是：
\[ s_n=s_{n+2}-s_{n-1}-1=g_{n+2}-1 \]
那么我们只需要开\(5\times 5\)的矩阵维护就好了，复杂度\(O(125T\log n)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;void read(int &x) {x=0;int f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}void print(int x) {if(x<0) putchar('-'),x=-x;if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}#define lf double
#define ll long long #define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++) const int maxn = 2e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;int n,T;const int tmp[5][5] ={{1,1,0,0,0},{1,0,0,0,0},{2,0,1,1,0},{0,0,1,0,0},{mod-2,0,0,0,1}};int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}struct Matrix {int a[6][6];Matrix () {memset(a,0,sizeof a);}Matrix operator * (const Matrix &r) const {Matrix res;for(int i=0;i<5;i++)for(int j=0;j<5;j++)for(int k=0;k<5;k++)res.a[i][j]=add(res.a[i][j],mul(a[i][k],r.a[k][j]));return res;}void print() {FOR(i,0,4){FOR(j,0,4)printf("%d ",a[i][j]);puts("");}puts("");}
};Matrix qpow(Matrix a,int x) {Matrix res;for(int i=0;i<5;i++) res.a[i][i]=1;for(;x;x>>=1,a=a*a) if(x&1) res=res*a;return res;
}void solve() {read(n);if(n<=2) return puts("0"),void();Matrix ans,res;FOR(i,0,4) FOR(j,0,4) res.a[i][j]=tmp[i][j];ans.a[0][2]=2,ans.a[0][3]=1,ans.a[0][4]=1;write((ans*qpow(res,n-2)).a[0][0]);
}int main() {read(T);while(T--) solve();return 0;
}