前言

在疫情期间在进行数字化核信号处理时又需要用到信号与系统中的内容，在用到拉普拉斯变换时发现当时所用的分式乘积转分式加减的方法甚是好用，可惜没有记载，在这里将其记下，也希望有人能分享用时更短的分解方法，以下讨论都用于分子分母都为实数的情况下

方法讨论

简单的分式相乘无非两种情况，真分式和假分式，简单的说，其中假分式总能通过配凑的方法变为真分式，以下给出简单的证明：
当存在假分式如: a x 2 + b x + c d x + e \frac{ax^{2}+bx+c}{dx+e} dx+eax2+bx+c
这可以通过上下同时除以 d d d，便可以得出下式，以保证分母的自变量前系数始终为1： a d x 2 + b d x + c d x + e d \frac{\frac{a}{d}x^{2}+\frac{b}{d}x+\frac{c}{d}}{x+\frac{e}{d}} x+dedax2+dbx+dc
则上式可以化简为: a 1 x 2 + b 1 x + c 1 x + e 1 = a 1 x 2 + a 1 e 1 x + ( b 1 − a 1 e 1 ) x + c 1 x + e 1 = a 1 x ( x + e 1 ) + ( b 1 − a 1 e 1 ) x + c 1 x + e 1 \frac{a_1x^{2}+b_1x+c_1}{x+e_1}=\frac{a_1x^2+a_1e_1x+(b_1-a_1e_1)x+c_1}{x+e_1}=\frac{a_1x(x+e_1)+(b_1-a_1e_1)x+c_1}{x+e_1} x+e1a1x2+b1x+c1=x+e1a1x2+a1e1x+(b1−a1e1)x+c1=x+e1a1x(x+e1)+(b1−a1e1)x+c1
而上式又可化简为： a 1 x + ( b 1 − a 1 e 1 ) x + c 1 x + e 1 a_1x+\frac{(b_1-a_1e_1)x+c_1}{x+e_1} a1x+x+e1(b1−a1e1)x+c1
由于我们并不关注 a 1 x a_1x a1x,而对于上式中上下同次的假分式又可化简为： ( b 1 − a 1 e 1 ) x + ( b 1 − a 1 e 1 ) − ( b 1 − a 1 e 1 ) + c 1 x + e 1 = ( b 1 − a 1 e 1 ) + c 1 − ( b 1 − a 1 e 1 ) x + e 1 \frac{(b_1-a_1e_1)x+(b_1-a_1e_1)-(b_1-a_1e_1)+c_1}{x+e_1}=(b_1-a_1e_1)+\frac{c_1-(b_1-a_1e_1)}{x+e_1} x+e1(b1−a1e1)x+(b1−a1e1)−(b1−a1e1)+c1=(b1−a1e1)+x+e1c1−(b1−a1e1)
从而得到了真分式，结合上式，证明了假分式都可向真分式进行转换，其中当分母不为一次项的情况也易依照上式思路证得。
结合以上证明，我们只需讨论真分式相乘换算成真分式相加减的情况，在这里假设存在真分式之积的形式：
A 1 x + c 1 . A 2 x + c 2 \frac{A_1}{x+c_1}.\frac{A_2}{x+c_2} x+c1A1.x+c2A2
则考虑到以上真分式之积需要转换成真分式之和，而转换得到的真分式之和形式的分母应为 x + c 1 x+c_1 x+c1和 x + c 2 x+c_2 x+c2,并且考虑到相乘为真分式分解完成后的形式也应该为真分式，则分解后的分子中所出现的次数应该要低于其分母中的多项式次数，则可得分解完成后的形式：
a x + c 1 + b x + c 2 \frac{a}{x+c_1}+\frac{b}{x+c_2} x+c1a+x+c2b
其中 a a a和 b b b均为未知数，则考虑到分式相乘转换成分式相减前后值应相等，则可得等式：
A 1 x + c 1 . A 2 x + c 2 = a x + c 1 + b x + c 2 = a ( x + c 2 ) x + c 1 . b ( x + c 1 ) x + c 2 = ( a + b ) x + a c 2 + b c 1 ( x + c 1 ) ( x + c 2 ) \frac{A_1}{x+c_1}.\frac{A_2}{x+c_2}= \frac{a}{x+c_1}+\frac{b}{x+c_2}=\frac{a(x+c_2)}{x+c_1}.\frac{b(x+c_1)}{x+c_2}=\frac{(a+b)x+ac_2+bc_1}{(x+c_1)(x+c_2)} x+c1A1.x+c2A2=x+c1a+x+c2b=x+c1a(x+c2).x+c2b(x+c1)=(x+c1)(x+c2)(a+b)x+ac2+bc1
考虑到分母应该相同，则可得以下方程组：
{ a + b = 0 a c 2 + b c 1 = A 1 . A 2 \begin{cases} a+b=0\\ac_2+bc_1=A_1.A_2 \end{cases} {a+b=0ac2+bc1=A1.A2
根据以上方程便可求得 a a a和 b b b,从而得出分解之后的值

例子讨论

例:将分式 x + 5 x 2 + 4 x + 3 \frac{x+5}{x^2+4x+3} x2+4x+3x+5分解为假分式之和的形式
由因式分解可得：
x + 5 x 2 + 4 x + 3 = x + 5 ( x + 1 ) ( x + 3 ) \frac{x+5}{x^2+4x+3}=\frac{x+5}{(x+1)(x+3)} x2+4x+3x+5=(x+1)(x+3)x+5,
则可假设分解后的形式为：
a x + 1 + b x + 3 \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+3} x+1a+x+3b
由分解前后值相等可得
x + 5 x 2 + 4 x + 3 = a x + 1 + b x + 3 = a ( x + 3 ) + b ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) = ( a + b ) x + 3 a + b ( x + 1 ) ( x + 3 ) \frac{x+5}{x^2+4x+3}= \frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+3}=\frac{a(x+3)+b(x+1)}{(x+1)(x+3)}=\frac{(a+b)x+3a+b}{(x+1)(x+3)} x2+4x+3x+5=x+1a+x+3b=(x+1)(x+3)a(x+3)+b(x+1)=(x+1)(x+3)(a+b)x+3a+b
考虑到分母各次系数相同可得方程组：
{ a + b = 1 3 a + b = 5 \begin{cases}a+b=1\\3a+b=5 \end{cases} {a+b=13a+b=5
则易解得：
{ a = 2 b = − 1 \begin{cases}a=2\\b=-1 \end{cases} {a=2b=−1
则分解后的形式为
2 x + 1 − 1 x + 3 \frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+3} x+12−x+31
验证可得正确性，为帮助大家更深层次理解这一方法，以下为两典型思考题，由于事务繁忙，这里只给出提示，若是有困惑的朋友，欢迎私聊^ _ ^。
1. x + 5 x 2 + 4 x + 1 \frac{x+5}{x^2+4x+1} x2+4x+1x+5 提示：数学观测能力较强的话可进行因式分解，也可用配方法+平方差公式得出
2. 4 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x \frac{4x^2+2}{x^3+2x^2+3x} x3+2x2+3x4x2+2 提示:先将分母转化成多项式乘积形式

小结

以上为对这个方法的一个记录，我在高中时期在数列问题中首先接触到这类方法，后在信号与系统的拉普拉斯域中的信号处理和Z域中的信号处理再次使用，但在我进行核信号的数值化处理过程中，发现这部分知识忘掉了大部分，故再次总结与记录，欢迎转载，但请注明出处。

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方法讨论

例子讨论

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