[data structure] heap 堆

定义：

1 （二叉）堆是一颗完全二叉树。

2 任何一个节点都小于它的后裔节点。（最小堆），相应的，最大堆中的任何一个节点大于它的后裔节点。

由于二叉堆是一个完全二叉树，因此对于二叉堆中的任何一个节点i，它的子节点的编号为:

A[ left ] = A[ 2*i + 1 ] ; A[ right ] = A [ 2*i + 2 ] （注：这是与实际实现时相对应的，比如如下的堆：）

由于堆的完全二叉树的性质，我们使用数组来表示堆即可。如下图所示：

左图是一个大顶堆，堆顶的元素是最大的。下方的数组是与该堆对应的。（注：上述的数组的有序是纯属偶然的。）

首要的，堆的操作最重要的性质便是保持堆序性。也就是说我们在加入元素以及删除元素（一般是删除堆顶）之后，需要对堆作出调整，使得堆依旧满足堆序性。

插入元素

向堆中加入新的元素i，输入：要添加的元素elem。使得加入后依然是堆。简单的示意图如下:

插入元素15，那么需要判断15是否破坏了堆序性，即是否该元素放在了正确的位置，显然 15 > 10，不满足堆序性，因此15上滤，得到右图，由于 15 < 18，说明15到达了正确的位置，因此成功插入了元素15.

保持堆序性：

这是堆的所有操作的最重要的一个函数：通过递归的比较当前元素与它的左右子节点，决定是否将该元素下滤，直到到达正确的位置。

C++代码如下：

//max heapify for the i-th elem in A
void max_heapify(int A[], int  i, int heap_size)
{int largest = i;int left = 2*i+1;int right = 2*i+2;if(left < heap_size && A[left] > A[largest]){largest = left;}if(right < heap_size && A[right] > A[largest]){largest = right;}if(largest != i){swap(A[i],A[largest]);max_heapify(A,largest,heap_size);}
}

建堆

给定数组A，要求将A变成一个堆，也就是说逐渐改变数组A中的元素位置，使得数组保持堆序性。

假设给定数组A = { 3 13 2 8 18 10 }，要将该数组构建成一个最大堆。

首先，在构建最大堆之前，必须明确：

1 由完全二叉树的性质，数组的至少一半的元素为叶子节点：

一个简单的例子：对于一颗整的完全二叉树而言，第 i 层的元素个数为 2^(i-1)，（根节点为第0层！！注意与平时树的高度的区别）。那么有如下示意图：

因此，前i层的节点总数为：

1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(i-1) = 2^i - 1

第i+1层（即叶子节点层）的节点个数为2^i ，因此叶子节点的个数大约为总节点个数的一半。

另一方面想，由于完全二叉树中父节点与子节点之间的位置关系，也可以知道对于某个节点i而言，如果它的右孩子编号大于整个数组的大小，那么显然节点i是最后一个中间节点，它后面的节点应该全部为叶子节点。即

2*i+2 = len, 那么 i = ( len - 2 ) / 2。因此基于此我们建堆的过程只需要考虑数组中的前一半的元素，代码如下：

void build_max_heap(int A[], int len)
{for(int i = len/2 ; i >= 0 ; i--){max_heapify(A,i,len);}
}

堆排序：

由于每一次从堆中找出最大的元素（大顶堆）是很直接的，直接取出对顶元素即可，那么在删除堆顶的元素之后：

1 堆中的元素个数会减一

2 堆顶空缺，需要将剩下的最大的元素放置在堆顶

如下的简单示意图：

按照上述一直到堆中的元素为0，那么数组中的元素也就有序了（从小到大有序）。

代码如下：

void heapSort(int A[], int len)
{build_max_heap(A,len);//printHeap(A,len);for(int i = len-1; i >= 0 ; --i){swap(A[i],A[0]);max_heapify(A,0,i);}
}

因此，堆排序实现完毕。

注：如果你是要将数组从大到小的排序，那么你应该建立的是小顶堆，否则为大顶堆。

堆的各种操作大致都是堆的高度O(logn)量级的。

总结：堆是很重要的数据结构，在任务优先级调度方面可作为优先级队列来使用，每次选择优先级最高的任务。

堆的操作还有很多，比如改变某个关键字的值，或者是删除中间的某个关键字。值得一提的是，堆排序是一种in-place排序，复杂度为O(nlogn)。

补充：由于在实现堆的时候，老是要去画二叉树，于是自己实现了一个简陋的只针对于完全二叉树的程序：

static void printSpace(int number)
{while(number--)cout << " ";
}
void printHeap(int A[], int len)
{if(len == 0 ){cout << "len == 0 !!!" << endl;return;}int level = log10(len)/log10(2)+1;//得到树的高度cout << "level = " << level << endl;printSpace(level*2);cout << A[0];printSpace(level*2);level--;cout << endl;int index = 1;for(int i = 0;i < level; ++i ){int count = pow(2,i);while(count--){printSpace((level-i)*2);if(index < len) cout << A[index++];printSpace((level-i)*2);if(index < len)cout << A[index++];printSpace(count);}cout << endl;}
}

PS：简陋的程序，只能用于画完全二叉树。

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