概率论与数理统计第一周作业

2、从0至9这10个数中有重复地取5个，以EiE_iEi表示某数字被取出i次（例如取出5、2、3、5、3，则E0E_0E0、E1E_1E1、E2E_2E2三个事件均发生）。试画出表示E0E_0E0、E1E_1E1、E2E_2E2、E3E_3E3、E4E_4E4、E5E_5E5、E6E_6E6之间关系的韦恩图

4、盒中装有标号1~r的r个球，随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中，然后进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个相同的概率

第一次取出n个的情况有Crn种，第一次取出n个的情况有C_r^n种，第一次取出n个的情况有Crn种，

∵第二次要和第一次有k个相同的，∴第二次的情况有CnkCr−nm−k种∵第二次要和第一次有k个相同的，∴第二次的情况有C_n^kC_{r-n}^{m-k}种∵第二次要和第一次有k个相同的，∴第二次的情况有CnkCr−nm−k种

又∵所有可能的情况有CrnCrm种又∵所有可能的情况有C_r^nC_r^m种又∵所有可能的情况有CrnCrm种

∴恰有k个相同的概率为CnkCr−nm−kCrm∴恰有k个相同的概率为\frac{C_n^kC_{r-n}^{m-k}}{C_r^m}∴恰有k个相同的概率为CrmCnkCr−nm−k

5、盒中装有编号为1至N的N个球，先有放回的任取n个，一次记下其号码，
求（1）n个号码按严格上升排列的概率（2）n个号码非降排列的概率

(1)(1)(1)
n个号码按严格上升排列的情况有CNn种n个号码按严格上升排列的情况有C_N^n种n个号码按严格上升排列的情况有CNn种

所有可能的情况有Nn种所有可能的情况有N^n种所有可能的情况有Nn种

所以概率为CNnNn所以概率为\frac{C_N^n}{N^n}所以概率为NnCNn

(2)(2)(2)
求非降排列，可以转化为求严格上升排列求非降排列，可以转化为求严格上升排列求非降排列，可以转化为求严格上升排列

设有一个非降排列（x1、x2......xn），将每个xi加上i−1设有一个非降排列（x_1、x_2......x_n），将每个x_i加上i-1设有一个非降排列（x1、x2......xn），将每个xi加上i−1

这样就得到了一个严格上升的序列，编号范围从1——N+n−1这样就得到了一个严格上升的序列，编号范围从1——N+n-1这样就得到了一个严格上升的序列，编号范围从1——N+n−1

此时球仍旧为N个，但是编号的范围变成了1——N+n−1此时球仍旧为N个，但是编号的范围变成了1——N+n-1此时球仍旧为N个，但是编号的范围变成了1——N+n−1

求这种情况下n个号码严格上升的概率求这种情况下n个号码严格上升的概率求这种情况下n个号码严格上升的概率

所以概率为CN+n−1nNn所以概率为\frac{C_{N+n-1}^n}{N^n}所以概率为NnCN+n−1n

6、m个男孩和n个女孩（n ≤\leq≤ m），随机的沿着圆桌坐下，分别用组合及排列的想法给出任意两个女孩都不相邻的概率

排列的想法排列的想法排列的想法

先让一个男孩坐下，剩下所有人有(m+n−1)!种情况先让一个男孩坐下，剩下所有人有(m+n-1)!种情况先让一个男孩坐下，剩下所有人有(m+n−1)!种情况

先让一个男孩坐下，剩下的男孩有(m−1)!种情况，先让一个男孩坐下，剩下的男孩有(m-1)!种情况，先让一个男孩坐下，剩下的男孩有(m−1)!种情况，

∵女生两两不相邻，∴要在男生中间坐，∵女生两两不相邻，∴要在男生中间坐，∵女生两两不相邻，∴要在男生中间坐，

∵男生中间有m个空位，∴女生有Cmnn!种情况∵男生中间有m个空位，∴女生有C_m^nn!种情况∵男生中间有m个空位，∴女生有Cmnn!种情况

∴概率为(m−1)!Cmnn!(m+n−1)!∴概率为\frac{(m-1)!~C_m^nn!}{(m+n-1)!}∴概率为(m+n−1)!(m−1)! Cmnn!

组合的想法组合的想法组合的想法

先让一个男孩坐下，剩下的女生有Cn+m−1n种情况先让一个男孩坐下，剩下的女生有C_{n+m-1}^n种情况先让一个男孩坐下，剩下的女生有Cn+m−1n种情况

男生坐好后，女生有Cmn种情况男生坐好后，女生有C_m^n种情况男生坐好后，女生有Cmn种情况

所以概率为Cn+m−1nCmn所以概率为\frac{C_{n+m-1}^n}{C_m^n}所以概率为CmnCn+m−1n

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