有限体积法、有限差分法和有限元法介绍

学过弹性力学的人应该都知道什么是有限元，而对学计算流体力学的来说，有限差分和有限体积法也是两种非常重要的方法。三者虽然目前形式各异，但是思想上有很多类似的地方。CFD（Computational Fluid Dynamics）中主要的三种离散方法就是他们三个。

而这篇文章主要目的是对三者进行比较，并给出三种方法计算同一个流体一维算例的过程。

一维算例：

流体在沿着一条流线传输过程中，关于流体的某个物理量的输运方程为：

这个方程也可以看成对流-扩散方程的特例，其含义就是在控制体内部：

由源产生的的量（因为全场没有源项，故等号右端为0） =

由于流动导致的物理量的增加（）+由于扩散导致物理量的减少（）

另外流场还应该满足连续条件：

即：流入质量=流出质量

那么控制方程组就是：

下面，用三种方法分别来解这个流场的物理量值

1 有限差分法

主要参考《计算流体力学入门》，John D.Andersion，JR .

有限差分法的做法很简单：流体的控制方程组一般都是偏微分方程，解偏微分方程组很困难， N-S方程多数都是没有解析解的，但是解线性方程组是很简单的事情。所以，差分主要目的便是将微分近似为线性运算，进而把偏微分方程组转化为线性方程组。大多数用来代替偏微分形式是基于Taylor展开得到的，利用Taylor展开，对x一阶导数差分可以近似如下三种形式：

对扩散项的二阶导数，近似为：

将控制方程离散成差分方程，得到：

这里我们把项转化为一个一阶导数和二阶导数，然后分别一阶和二阶格式进行差分。

通过联立连续方程，可以求解出全场所有节点处流速值，代入对流扩散方程中，简化为：

然后联立求解全场各个点有关的方程组，便可解得全场节点处数值。

2 有限体积法

主要参考《计算流体动力学分析：CFD软件原理与应用》，王福军

（其实里面也就是流体力学控制方程简介+有限体积法，整个这个名字真让人迷惑QAQ）

1.1离散

有限体积法离散的核心和有限元法一样，使用有限个离散点来代替原来整个连续的空间。把计算区域分成不重叠的计算网格，然后确定每个节点位置和节点控制体体积（也就是节点所在的网格单元）。区域几何要素主要有以下几个：

节点：需要解未知物理量的几何位置，一般在节点上定义所有的标量，下面图中的W、P、E三个点就是节点；

控制体积：应用控制方程和守恒定律的最小单位，图中灰色区域；

界面：规定了与各节点相对应的控制体积的分界面位置，图中w和e处；

网格线：连接节点的曲线簇，图中就是x轴线。

1.2建立离散方程

有限体积最特殊的一步就是在控制体上积分控制方程，以便在控制体积的界面上产生离散方程。对一维算例在控制体积上积分有：

然后控制体积分式等价于：

其中可以看成是垂直于轴方向上断面的面积。

这里我想详细的讨论一下，在书中作者说这是完全等价的转化，并没有取任何近似，但是我有不同的看法

积分式里面的被积函数和A没有任何关系，所以我们可以先把做积分：

然后根据分部积分方法：

我们可以看出，等号左端正确结果应为：

所以这一步其实也做了近似。否则应该加上的前提。

1.3解方程

我们已经把非线性的控制方程组通过离散，转化成为了线性方程组。

但是在我们的解里只定义在了节点上，在界面处应该并没有的值，所以还需要某种差分方法，把在界面处的值用节点上的值来近似，这里就是所谓的使用差分格式。

采用最煎蛋XD的方法……我们用界面两边的节点值取平均来近似，这应该是地球人都想得到的方法，方程继续化简为：

记为：

根据连续方程，我们可以求解整个流场，那么系数和即为已知数，然后便可求解。

和分别代表了相邻点和处的物理量通过对流扩散作用对点影响的大小，我们假设流场是已知的，那么我们已经知道全场每个点的和大小。这样把全场的节点离散方程联立求解，便可解得每个节点的值。