动态规划之二见完全背包问题

题目：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i] | 0<=k*c[i]<=v}

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码：

for i=1..N

forv=0..V

f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现，这个伪代码与0-1背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

无限量供应版背包问题：

问题描述：有n件物品x1, x2, …, xn ,每件物品有一个价值和一个重量，分别记为：

v1,v2,…, vn

w1,w2,…, wn

其中所有的wi均为整数。每件物品都有无穷多个。现有一个背包，其最大载重量为m，要求从这n件物品中任取若干件。问背包中装入哪些物品可使得所装物品的价值和最大？

例如，m=10, n = 6,

value weig

10 6
6 3
5 2
10 5
2 1
16 6
8 4

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;int space,num;
int weig[31];
int value[31];
int path[31][31];
int bag[31][1001]; //标号为0不用 void fillbag()
{for(int i = 1; i<num+1; i++){for(int j = 1; j <= space; j++){bag[i][j] = bag[i-1][j];if( (j>=weig[i]) && ( (value[i] + bag[i][j-weig[i]]) > bag[i-1][j] )){bag[i][j] = value[i] + bag[i][j-weig[i]];path[i][j] = 1;}}}
}void showbag_path()
{for(int i = 1; i<num+1; i++){for(int j = 1; j<space+1; j++){cout<<"\t"<<bag[i][j];}cout<<endl;}cout<<endl<<endl<<endl;for(int i = 1; i<num+1; i++){for(int j = 1; j<space+1; j++){cout<<"\t"<<path[i][j];}cout<<endl;}
}int main() {cin>>space>>num;memset(weig, 0, sizeof(weig));memset(bag, 0, sizeof(bag));for(int i = 1; i<=num; i++){cin>>value[i];cin>>weig[i];}fillbag();    cout<<endl<<"max value:"<<bag[num][space]<<endl;//找到最佳解的选择方案 int j = space;for(int i = num; i>0 && j>0; ){if(path[i][j] == 1){path[i][0] ++;j -= weig[i];}else{i--;}}//输出最佳解的选择方案 for(int i = 0; i<=num; i++){cout<<"物品"<<i<<":"<<path[i][0]<<"  ";}cout<<endl;//输出过程 showbag_path();return 0;
}

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