MUSIC算法对信号DOA的应用

波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置(即多个信号到达阵列参考阵元的方向角)。最早的也是最经典的超分辨DOA估计方法是著名的MUSIC方法，MUSIC是多重信号分类(Multiple Signal Classification)的英文缩写。它是由R．O． Schmidt于1979年提出来的，由1986年重新发表的。MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA．它是建立在以下假设基础上的：

(1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一；

(2) 处理器的噪声为加性高斯分布，不同阵元间距噪声均为平稳随机过程，独立同分布，空间平稳(各阵元噪声方差相等)；

(3) 空间信号为零均值平稳随机过程，它与阵元噪声相互独立；

(4) 信号源数小于阵列元数，信号取样数大于阵列元数，信号源为窄带信号，即信号通过天线阵的时间远远小于信号带宽的倒数．

5.2.1 MUSIC算法的基本原理

图5.1 均匀天线阵列

如图5.1，M个天线阵元均匀直线排列，单元间距d为1/2个波长，布置成一个阵列天线。设有P(P

X(n)=AS(n)+U(n) 　 n=1，2，……N 　　 (5.1)

式中X(n)= 为M个阵元输出；

A= ，

式中　 ，T表示转置， 为载波波长，i=1，2，……，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

信号和噪声的协方差矩阵分别为

S= U=

接收信号的协方差(阵列输出信号协方差)

，以上式中H为共轭转置 　　(5.2)

因为 为MXM矩阵，所以能分解为M个特征值和特征向量，把这些特征值和特征向量用 ， (i=l，2，…，M)来表示，则 可表示为

(5.3)

这里，V是以 为元素的列矩阵， 是以 为元素的对角矩阵。从这个分析结果，有下面重要性质：

[性质1] 各到达波是非相干(信号间相关系数不到l)，设各信号和噪声不相关，在 的特征值里，下面关系成立

(5.4)

即主要的特征值(信号特征值)个数和到达波束P相等，剩下的特征值(噪声特征值)的大小等于噪声功率。根据这个性质可以估计到达波的个数。进一步，按照特征值分布， 可分为信号功率和噪声功率之和

= = 　(5.5)

V=[ ]=

由于特征向量相互正交，则由下面第二个重要的性质。

[性质2] 对应噪声特征值的特征向量(噪声特征向量)和各到达波的信号向量(信号特征向量)正交 。

…M， i=1，…P. 　　 (5.6)

于是，阵列的空间谱函数可表示为

(5.7)

式中分母是信号向量和噪声向量的内积。在性质2成立时的 分母是零， 有一尖峰。MUSIC算法就是通过寻找波峰来估计到达角的。通常把信号特征矢量覆盖的空间称为信号子空间(Signal Subspace)，噪声特征向量覆盖的空间称为噪声子空间(Noise Subspace)。把基于这个原理的估计到达波方向的方法称为部分空间法(Subspace Method)。MUSIC算法就是用信号或噪声子空间进行低秩信息的提取。

5.2.2 MUSIC算法的实现

MUSIC算法的实现步骤:

1) 根据N个接收信号矢量得到阵列输出向量的协方差矩阵

(5.8)

对上面的协方差矩阵进行特征值分解

(5.9)

2) 然后按特征值的大小顺序，把与信号个数P相等的特征值和对应的特征向量看作信号子空间，把剩下的(M-P)个特征值和特征向量看作噪声部分空间。

= (5.10)

3) 使 变化，按照空间谱 来计算谱函数，通过寻找峰值来得到信号到达方向的估计值。

以下给出基于MATLAB的MUSIC算法估计仿真：

(1)从 入射的三个独立信号源，SNR分别为12dB，10dB，9dB。

图5.2 MUSIC算法的谱图

从谱图可以看出：在满足上面的假设前提下，MUSIC算法可精确估计出信号的DOA。

尽管MUSIC算法在满足上述假设前提下可以精确估计信号的DOA，但它也有局限性：就是在低SNR和小样本的条件下无法分辨出空间相距比较近的信号。还有就是在现实当中，由于多径效应，接收到的信号一般是高相关信号，甚至是相关信号。当阵列接收到的是相干信号时，MUSIC算法就失去了其有效性，不再能估计出信号的DOA了 。

(2)如下图，从 入射的三个信号源，SNR分别是20dB、10dB、12dB，其中，后面两个是相干信号。

图5.3 相干源的MUSIC谱图

由上面的谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨出 信号，即MUSIC算法对于相干信号的DOA估计完全失效。

(3)如下图，三个分别从 入射的信号源，SNR分别为8dB，6dB，5dB。

图5.4 相隔比较近的小信噪比信号的MUSIC谱图

由谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨 和 这两个信号，即MUSIC算法对于相隔比较近的小信噪比信号的DOA估计已经失效。

针对上述情况，就必须找到一种新的算法或对MUSIC算法进行改进，使它在能区分一般环境下信号的基础上，也能分辨出相干信号的DOA和相隔比较近的小信号比信号的DOA。下面讨论一种修正的MUSIC算法。

5.3修正MUSIC算法对信号DOA的估计

MUSIC算法实现对信号源DOA的估计，是基于对阵列输出信号协方差进行特征分解来估计来波方向的。然而，若信号源中有某些源是相关或完全相关(相干)，相干的几个信号就可能合并成一个信号，到达阵列的独立源数将减少，即阵列输出信号协方差的秩rank( )＜P，对信号协方差矩阵进行特征值分解后，某些相干源的方向矢量不正交与噪声子空间，不出现信号零点。所以，有些源在空间谱曲线中将不呈现峰值，造成谱估计的漏报。

对于小信噪比以及角度相隔比较近的信号，它们的阵列信号协方差矩阵进行特征值分解后同样会出现类似的情况，从而不能准确地估计信号的DOA。

因此要对MUSIC算法进行改进，就是要对阵列输出信号协方差矩阵进行处理，使信号协方差的秩恢复为rank( )=P，从而能有效地估计出信号的DOA。

空间平滑法较好地解决了相干信号源的情况，但它是以牺牲天线的有效阵元数为条件的，同时也增加了计算量。同时它对小信噪比信号和到达角度相隔比较近的信号不能分辨。本节研究的是一种修正的MUSIC算法，它在实现MUSIC算法功能的基础上，能分辨出上述三种环境下的信号。

5.3.1 修正MUSIC算法的基本原理

阵列输出信号的协方差矩阵为

其中 　 X(n)=AS(n)+U(n) n=1，2，……N　　　　　　 (5.11)

式中X(n)= 为M个阵元输出；A= ， 　　　　　　 ， ，T表转置， 为载波波长，i=1，2，…，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

令I为MxM反向单位矩阵，即

I=

构造 RXX 　　　 5.12)

这样做是使RXX成为Hermite的Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵的任何一条对角线取相同元素，关于副对角线对称的。由于协方差矩阵 是Hermite的Toeplitz矩阵，所以满足 = 。阵列输出矢量N次采样数据组成矩阵X=[X( )，X( )，…X( )]，协方差矩阵的估值为 。一般情况下 只是Hermite矩阵，不是Toeplitz矩阵，利用 是Toeplitz性质对 进行修正，得到Toeplitz的协方差矩阵的估值RXX= + ，显然RXX是Hermite的Toeplitz矩阵，由此可知，RXX是 的无偏估计。再对RXX进行奇异值分解 ，有

[U，S，V]=svd(RXX) (5.13)

取 Vu=U(:，P+l:M)

为噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。

再令 S(M-l，M-l)=0，S(M-2，M-2)=0，S(M，M)=0; (5.14)

SS=S; RXXX=U*SS*V’ (5.15)

低秩逼近法，用一个低秩矩阵来代替满秩矩阵RXX。

再对RXXX进行分解

[UU，SSS，VV]=svd(RXXX) (5.16)

取

Vuu=UU(:，P+l:M)

噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。再对两次得到的噪声子空间向量进行平均 ，得到

VU=(Vuu+Vu)./2; (5.17)

此即为经过处理后的噪声子空间。再用这个噪声特征向量代入去计算，MUSIC算法就能有效地估计出信号的DOA了。

这里的推导主要从 的数学特征上入手，使噪声子空间经过处理后能够与方向矢量充分正交，从而估计出信号的DOA。下面的MATLAB 仿真显示了该修正算法的有效性。

5.3.2 修正MUSIC算法的实现

1)  考虑从 入射的三个信号源，其中后面两个信号源是相干信号。

图5.5 相干源的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC估计，红线表示修正MUSIC估计。由上图可知：修正MUSIC算法可以清晰地估计出相干信号的DOA，而传统的算法却不能估计出这类信号的DOA。

2)从 入射的三个独立信号源，SNR分别是3dB，3dB，3dB。

图5.6 相隔较近的小信噪比信号的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC算法估计，红线表示修正MUSIC算法估计。由上图可以看到，修正MUSIC算法可清晰地分辨出相隔比较近的小信噪比信号的DOA。

3)从 入射的三个信号源，SNR分别为3dB，5dB，3dB。

图5.7 MUSIC算法与修正MUSIC算法的性能比较

从上面的仿真图中可以看出：修正MUSIC算法与传统的MUSIC算法对信号DOA估计出来的谱图相比较，有更高的谱峰，从而更有利于目标的分辨，特别是对于小信噪比信号。

此外，利用MUSIC算法进行DOA估计时，随着信号信噪比的提高，对于相隔比较近的来波信号的估计有明显的改善。

5.3.3 修正MUSIC算法的性能分析

由以上讨论可知，修正MUSIC算法与普通MUSIC算法形式完全一样，都是利用空间谱函数

来对信号进行DOA估计地，只是修正MUSIC算法对用于求特征分解的协方差矩阵 先进行处理，对其进行低秩逼近，使协方差矩阵满秩，以使信号子空间不渗透到噪声子空间去，从而使它们能够充分正交，达到对信号DOA进行有效估计。这样其实等效于提高了信噪比，同时也对特征根 重新进行了排列，因而有助于减小DOA估计的方差，因为

DOA估计的方差与特征值间的关系

(5.18)

式中M为天线阵元数，P为入射信号数目，N为采样数， 是与特征根 MUSIC算法对信号DOA的应用

波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置(即多个信号到达阵列参考阵元的方向角)。最早的也是最经典的超分辨DOA估计方法是著名的MUSIC方法，MUSIC是多重信号分类(Multiple Signal Classification)的英文缩写。它是由R．O． Schmidt于1979年提出来的，由1986年重新发表的。MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA．它是建立在以下假设基础上的：

(1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一；

(2) 处理器的噪声为加性高斯分布，不同阵元间距噪声均为平稳随机过程，独立同分布，空间平稳(各阵元噪声方差相等)；

(3) 空间信号为零均值平稳随机过程，它与阵元噪声相互独立；

(4) 信号源数小于阵列元数，信号取样数大于阵列元数，信号源为窄带信号，即信号通过天线阵的时间远远小于信号带宽的倒数．

5.2.1 MUSIC算法的基本原理

图5.1 均匀天线阵列

如图5.1，M个天线阵元均匀直线排列，单元间距d为1/2个波长，布置成一个阵列天线。设有P(P

X(n)=AS(n)+U(n) 　 n=1，2，……N 　　 (5.1)

式中X(n)= 为M个阵元输出；

A= ，

式中　 ，T表示转置， 为载波波长，i=1，2，……，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

信号和噪声的协方差矩阵分别为

S= U=

接收信号的协方差(阵列输出信号协方差)

，以上式中H为共轭转置 　　(5.2)

因为 为MXM矩阵，所以能分解为M个特征值和特征向量，把这些特征值和特征向量用 ， (i=l，2，…，M)来表示，则 可表示为

(5.3)

这里，V是以 为元素的列矩阵， 是以 为元素的对角矩阵。从这个分析结果，有下面重要性质：

[性质1] 各到达波是非相干(信号间相关系数不到l)，设各信号和噪声不相关，在 的特征值里，下面关系成立

(5.4)

即主要的特征值(信号特征值)个数和到达波束P相等，剩下的特征值(噪声特征值)的大小等于噪声功率。根据这个性质可以估计到达波的个数。进一步，按照特征值分布， 可分为信号功率和噪声功率之和

= = 　(5.5)

V=[ ]=

由于特征向量相互正交，则由下面第二个重要的性质。

[性质2] 对应噪声特征值的特征向量(噪声特征向量)和各到达波的信号向量(信号特征向量)正交 。

…M， i=1，…P. 　　 (5.6)

于是，阵列的空间谱函数可表示为

(5.7)

式中分母是信号向量和噪声向量的内积。在性质2成立时的 分母是零， 有一尖峰。MUSIC算法就是通过寻找波峰来估计到达角的。通常把信号特征矢量覆盖的空间称为信号子空间(Signal Subspace)，噪声特征向量覆盖的空间称为噪声子空间(Noise Subspace)。把基于这个原理的估计到达波方向的方法称为部分空间法(Subspace Method)。MUSIC算法就是用信号或噪声子空间进行低秩信息的提取。

5.2.2 MUSIC算法的实现

MUSIC算法的实现步骤:

1) 根据N个接收信号矢量得到阵列输出向量的协方差矩阵

(5.8)

对上面的协方差矩阵进行特征值分解

(5.9)

2) 然后按特征值的大小顺序，把与信号个数P相等的特征值和对应的特征向量看作信号子空间，把剩下的(M-P)个特征值和特征向量看作噪声部分空间。

= (5.10)

3) 使 变化，按照空间谱 来计算谱函数，通过寻找峰值来得到信号到达方向的估计值。

以下给出基于MATLAB的MUSIC算法估计仿真：

(1)从 入射的三个独立信号源，SNR分别为12dB，10dB，9dB。

图5.2 MUSIC算法的谱图

从谱图可以看出：在满足上面的假设前提下，MUSIC算法可精确估计出信号的DOA。

尽管MUSIC算法在满足上述假设前提下可以精确估计信号的DOA，但它也有局限性：就是在低SNR和小样本的条件下无法分辨出空间相距比较近的信号。还有就是在现实当中，由于多径效应，接收到的信号一般是高相关信号，甚至是相关信号。当阵列接收到的是相干信号时，MUSIC算法就失去了其有效性，不再能估计出信号的DOA了 。

(2)如下图，从 入射的三个信号源，SNR分别是20dB、10dB、12dB，其中，后面两个是相干信号。

图5.3 相干源的MUSIC谱图

由上面的谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨出 信号，即MUSIC算法对于相干信号的DOA估计完全失效。

(3)如下图，三个分别从 入射的信号源，SNR分别为8dB，6dB，5dB。

图5.4 相隔比较近的小信噪比信号的MUSIC谱图

由谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨 和 这两个信号，即MUSIC算法对于相隔比较近的小信噪比信号的DOA估计已经失效。

针对上述情况，就必须找到一种新的算法或对MUSIC算法进行改进，使它在能区分一般环境下信号的基础上，也能分辨出相干信号的DOA和相隔比较近的小信号比信号的DOA。下面讨论一种修正的MUSIC算法。

5.3修正MUSIC算法对信号DOA的估计

MUSIC算法实现对信号源DOA的估计，是基于对阵列输出信号协方差进行特征分解来估计来波方向的。然而，若信号源中有某些源是相关或完全相关(相干)，相干的几个信号就可能合并成一个信号，到达阵列的独立源数将减少，即阵列输出信号协方差的秩rank( )＜P，对信号协方差矩阵进行特征值分解后，某些相干源的方向矢量不正交与噪声子空间，不出现信号零点。所以，有些源在空间谱曲线中将不呈现峰值，造成谱估计的漏报。

对于小信噪比以及角度相隔比较近的信号，它们的阵列信号协方差矩阵进行特征值分解后同样会出现类似的情况，从而不能准确地估计信号的DOA。

因此要对MUSIC算法进行改进，就是要对阵列输出信号协方差矩阵进行处理，使信号协方差的秩恢复为rank( )=P，从而能有效地估计出信号的DOA。

空间平滑法较好地解决了相干信号源的情况，但它是以牺牲天线的有效阵元数为条件的，同时也增加了计算量。同时它对小信噪比信号和到达角度相隔比较近的信号不能分辨。本节研究的是一种修正的MUSIC算法，它在实现MUSIC算法功能的基础上，能分辨出上述三种环境下的信号。

5.3.1 修正MUSIC算法的基本原理

阵列输出信号的协方差矩阵为

其中 　 X(n)=AS(n)+U(n) n=1，2，……N　　　　　　 (5.11)

式中X(n)= 为M个阵元输出；A= ， 　　　　　　 ， ，T表转置， 为载波波长，i=1，2，…，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

令I为MxM反向单位矩阵，即

I=

构造 RXX 　　　 5.12)

这样做是使RXX成为Hermite的Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵的任何一条对角线取相同元素，关于副对角线对称的。由于协方差矩阵 是Hermite的Toeplitz矩阵，所以满足 = 。阵列输出矢量N次采样数据组成矩阵X=[X( )，X( )，…X( )]，协方差矩阵的估值为 。一般情况下 只是Hermite矩阵，不是Toeplitz矩阵，利用 是Toeplitz性质对 进行修正，得到Toeplitz的协方差矩阵的估值RXX= + ，显然RXX是Hermite的Toeplitz矩阵，由此可知，RXX是 的无偏估计。再对RXX进行奇异值分解 ，有

[U，S，V]=svd(RXX) (5.13)

取 Vu=U(:，P+l:M)

为噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。

再令 S(M-l，M-l)=0，S(M-2，M-2)=0，S(M，M)=0; (5.14)

SS=S; RXXX=U*SS*V’ (5.15)

低秩逼近法，用一个低秩矩阵来代替满秩矩阵RXX。

再对RXXX进行分解

[UU，SSS，VV]=svd(RXXX) (5.16)

取

Vuu=UU(:，P+l:M)

噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。再对两次得到的噪声子空间向量进行平均 ，得到

VU=(Vuu+Vu)./2; (5.17)

此即为经过处理后的噪声子空间。再用这个噪声特征向量代入去计算，MUSIC算法就能有效地估计出信号的DOA了。

这里的推导主要从 的数学特征上入手，使噪声子空间经过处理后能够与方向矢量充分正交，从而估计出信号的DOA。下面的MATLAB 仿真显示了该修正算法的有效性。

5.3.2 修正MUSIC算法的实现

1)  考虑从 入射的三个信号源，其中后面两个信号源是相干信号。

图5.5 相干源的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC估计，红线表示修正MUSIC估计。由上图可知：修正MUSIC算法可以清晰地估计出相干信号的DOA，而传统的算法却不能估计出这类信号的DOA。

2)从 入射的三个独立信号源，SNR分别是3dB，3dB，3dB。

图5.6 相隔较近的小信噪比信号的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC算法估计，红线表示修正MUSIC算法估计。由上图可以看到，修正MUSIC算法可清晰地分辨出相隔比较近的小信噪比信号的DOA。

3)从 入射的三个信号源，SNR分别为3dB，5dB，3dB。

图5.7 MUSIC算法与修正MUSIC算法的性能比较

从上面的仿真图中可以看出：修正MUSIC算法与传统的MUSIC算法对信号DOA估计出来的谱图相比较，有更高的谱峰，从而更有利于目标的分辨，特别是对于小信噪比信号。

此外，利用MUSIC算法进行DOA估计时，随着信号信噪比的提高，对于相隔比较近的来波信号的估计有明显的改善。

5.3.3 修正MUSIC算法的性能分析

由以上讨论可知，修正MUSIC算法与普通MUSIC算法形式完全一样，都是利用空间谱函数

来对信号进行DOA估计地，只是修正MUSIC算法对用于求特征分解的协方差矩阵 先进行处理，对其进行低秩逼近，使协方差矩阵满秩，以使信号子空间不渗透到噪声子空间去，从而使它们能够充分正交，达到对信号DOA进行有效估计。这样其实等效于提高了信噪比，同时也对特征根 重新进行了排列，因而有助于减小DOA估计的方差，因为

DOA估计的方差与特征值间的关系

(5.18)

式中M为天线阵元数，P为入射信号数目，N为采样数， 是与特征根 MUSIC算法对信号DOA的应用

波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域内多个感兴趣的信号的空间位置(即多个信号到达阵列参考阵元的方向角)。最早的也是最经典的超分辨DOA估计方法是著名的MUSIC方法，MUSIC是多重信号分类(Multiple Signal Classification)的英文缩写。它是由R．O． Schmidt于1979年提出来的，由1986年重新发表的。MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，检测信号的DOA．它是建立在以下假设基础上的：

(1) 阵列形式为线性均匀阵，阵元间距不大于处理最高频率信号波长的二分之一；

(2) 处理器的噪声为加性高斯分布，不同阵元间距噪声均为平稳随机过程，独立同分布，空间平稳(各阵元噪声方差相等)；

(3) 空间信号为零均值平稳随机过程，它与阵元噪声相互独立；

(4) 信号源数小于阵列元数，信号取样数大于阵列元数，信号源为窄带信号，即信号通过天线阵的时间远远小于信号带宽的倒数．

5.2.1 MUSIC算法的基本原理

图5.1 均匀天线阵列

如图5.1，M个天线阵元均匀直线排列，单元间距d为1/2个波长，布置成一个阵列天线。设有P(P

X(n)=AS(n)+U(n) 　 n=1，2，……N 　　 (5.1)

式中X(n)= 为M个阵元输出；

A= ，

式中　 ，T表示转置， 为载波波长，i=1，2，……，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

信号和噪声的协方差矩阵分别为

S= U=

接收信号的协方差(阵列输出信号协方差)

，以上式中H为共轭转置 　　(5.2)

因为 为MXM矩阵，所以能分解为M个特征值和特征向量，把这些特征值和特征向量用 ， (i=l，2，…，M)来表示，则 可表示为

(5.3)

这里，V是以 为元素的列矩阵， 是以 为元素的对角矩阵。从这个分析结果，有下面重要性质：

[性质1] 各到达波是非相干(信号间相关系数不到l)，设各信号和噪声不相关，在 的特征值里，下面关系成立

(5.4)

即主要的特征值(信号特征值)个数和到达波束P相等，剩下的特征值(噪声特征值)的大小等于噪声功率。根据这个性质可以估计到达波的个数。进一步，按照特征值分布， 可分为信号功率和噪声功率之和

= = 　(5.5)

V=[ ]=

由于特征向量相互正交，则由下面第二个重要的性质。

[性质2] 对应噪声特征值的特征向量(噪声特征向量)和各到达波的信号向量(信号特征向量)正交 。

…M， i=1，…P. 　　 (5.6)

于是，阵列的空间谱函数可表示为

(5.7)

式中分母是信号向量和噪声向量的内积。在性质2成立时的 分母是零， 有一尖峰。MUSIC算法就是通过寻找波峰来估计到达角的。通常把信号特征矢量覆盖的空间称为信号子空间(Signal Subspace)，噪声特征向量覆盖的空间称为噪声子空间(Noise Subspace)。把基于这个原理的估计到达波方向的方法称为部分空间法(Subspace Method)。MUSIC算法就是用信号或噪声子空间进行低秩信息的提取。

5.2.2 MUSIC算法的实现

MUSIC算法的实现步骤:

1) 根据N个接收信号矢量得到阵列输出向量的协方差矩阵

(5.8)

对上面的协方差矩阵进行特征值分解

(5.9)

2) 然后按特征值的大小顺序，把与信号个数P相等的特征值和对应的特征向量看作信号子空间，把剩下的(M-P)个特征值和特征向量看作噪声部分空间。

= (5.10)

3) 使 变化，按照空间谱 来计算谱函数，通过寻找峰值来得到信号到达方向的估计值。

以下给出基于MATLAB的MUSIC算法估计仿真：

(1)从 入射的三个独立信号源，SNR分别为12dB，10dB，9dB。

图5.2 MUSIC算法的谱图

从谱图可以看出：在满足上面的假设前提下，MUSIC算法可精确估计出信号的DOA。

尽管MUSIC算法在满足上述假设前提下可以精确估计信号的DOA，但它也有局限性：就是在低SNR和小样本的条件下无法分辨出空间相距比较近的信号。还有就是在现实当中，由于多径效应，接收到的信号一般是高相关信号，甚至是相关信号。当阵列接收到的是相干信号时，MUSIC算法就失去了其有效性，不再能估计出信号的DOA了 。

(2)如下图，从 入射的三个信号源，SNR分别是20dB、10dB、12dB，其中，后面两个是相干信号。

图5.3 相干源的MUSIC谱图

由上面的谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨出 信号，即MUSIC算法对于相干信号的DOA估计完全失效。

(3)如下图，三个分别从 入射的信号源，SNR分别为8dB，6dB，5dB。

图5.4 相隔比较近的小信噪比信号的MUSIC谱图

由谱图可以看出：MUSIC算法无法分辨 和 这两个信号，即MUSIC算法对于相隔比较近的小信噪比信号的DOA估计已经失效。

针对上述情况，就必须找到一种新的算法或对MUSIC算法进行改进，使它在能区分一般环境下信号的基础上，也能分辨出相干信号的DOA和相隔比较近的小信号比信号的DOA。下面讨论一种修正的MUSIC算法。

5.3修正MUSIC算法对信号DOA的估计

MUSIC算法实现对信号源DOA的估计，是基于对阵列输出信号协方差进行特征分解来估计来波方向的。然而，若信号源中有某些源是相关或完全相关(相干)，相干的几个信号就可能合并成一个信号，到达阵列的独立源数将减少，即阵列输出信号协方差的秩rank( )＜P，对信号协方差矩阵进行特征值分解后，某些相干源的方向矢量不正交与噪声子空间，不出现信号零点。所以，有些源在空间谱曲线中将不呈现峰值，造成谱估计的漏报。

对于小信噪比以及角度相隔比较近的信号，它们的阵列信号协方差矩阵进行特征值分解后同样会出现类似的情况，从而不能准确地估计信号的DOA。

因此要对MUSIC算法进行改进，就是要对阵列输出信号协方差矩阵进行处理，使信号协方差的秩恢复为rank( )=P，从而能有效地估计出信号的DOA。

空间平滑法较好地解决了相干信号源的情况，但它是以牺牲天线的有效阵元数为条件的，同时也增加了计算量。同时它对小信噪比信号和到达角度相隔比较近的信号不能分辨。本节研究的是一种修正的MUSIC算法，它在实现MUSIC算法功能的基础上，能分辨出上述三种环境下的信号。

5.3.1 修正MUSIC算法的基本原理

阵列输出信号的协方差矩阵为

其中 　 X(n)=AS(n)+U(n) n=1，2，……N　　　　　　 (5.11)

式中X(n)= 为M个阵元输出；A= ， 　　　　　　 ， ，T表转置， 为载波波长，i=1，2，…，P； 为第i个平面波的复振幅；U(n)= ， 为零均值、方差为 的白噪声，且与信号源不相关；N为采样数。

令I为MxM反向单位矩阵，即

I=

构造 RXX 　　　 5.12)

这样做是使RXX成为Hermite的Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵的任何一条对角线取相同元素，关于副对角线对称的。由于协方差矩阵 是Hermite的Toeplitz矩阵，所以满足 = 。阵列输出矢量N次采样数据组成矩阵X=[X( )，X( )，…X( )]，协方差矩阵的估值为 。一般情况下 只是Hermite矩阵，不是Toeplitz矩阵，利用 是Toeplitz性质对 进行修正，得到Toeplitz的协方差矩阵的估值RXX= + ，显然RXX是Hermite的Toeplitz矩阵，由此可知，RXX是 的无偏估计。再对RXX进行奇异值分解 ，有

[U，S，V]=svd(RXX) (5.13)

取 Vu=U(:，P+l:M)

为噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。

再令 S(M-l，M-l)=0，S(M-2，M-2)=0，S(M，M)=0; (5.14)

SS=S; RXXX=U*SS*V’ (5.15)

低秩逼近法，用一个低秩矩阵来代替满秩矩阵RXX。

再对RXXX进行分解

[UU，SSS，VV]=svd(RXXX) (5.16)

取

Vuu=UU(:，P+l:M)

噪声特征值对应的特征向量，即噪声子空间。再对两次得到的噪声子空间向量进行平均 ，得到

VU=(Vuu+Vu)./2; (5.17)

此即为经过处理后的噪声子空间。再用这个噪声特征向量代入去计算，MUSIC算法就能有效地估计出信号的DOA了。

这里的推导主要从 的数学特征上入手，使噪声子空间经过处理后能够与方向矢量充分正交，从而估计出信号的DOA。下面的MATLAB 仿真显示了该修正算法的有效性。

5.3.2 修正MUSIC算法的实现

1)  考虑从 入射的三个信号源，其中后面两个信号源是相干信号。

图5.5 相干源的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC估计，红线表示修正MUSIC估计。由上图可知：修正MUSIC算法可以清晰地估计出相干信号的DOA，而传统的算法却不能估计出这类信号的DOA。

2)从 入射的三个独立信号源，SNR分别是3dB，3dB，3dB。

图5.6 相隔较近的小信噪比信号的MUSIC算法与修正MUSIC算法谱图

图中，蓝线表示MUSIC算法估计，红线表示修正MUSIC算法估计。由上图可以看到，修正MUSIC算法可清晰地分辨出相隔比较近的小信噪比信号的DOA。

3)从 入射的三个信号源，SNR分别为3dB，5dB，3dB。

图5.7 MUSIC算法与修正MUSIC算法的性能比较

从上面的仿真图中可以看出：修正MUSIC算法与传统的MUSIC算法对信号DOA估计出来的谱图相比较，有更高的谱峰，从而更有利于目标的分辨，特别是对于小信噪比信号。

此外，利用MUSIC算法进行DOA估计时，随着信号信噪比的提高，对于相隔比较近的来波信号的估计有明显的改善。

5.3.3 修正MUSIC算法的性能分析

由以上讨论可知，修正MUSIC算法与普通MUSIC算法形式完全一样，都是利用空间谱函数

来对信号进行DOA估计地，只是修正MUSIC算法对用于求特征分解的协方差矩阵 先进行处理，对其进行低秩逼近，使协方差矩阵满秩，以使信号子空间不渗透到噪声子空间去，从而使它们能够充分正交，达到对信号DOA进行有效估计。这样其实等效于提高了信噪比，同时也对特征根 重新进行了排列，因而有助于减小DOA估计的方差，因为

DOA估计的方差与特征值间的关系

(5.18)

式中M为天线阵元数，P为入射信号数目，N为采样数， 是与特征根 对应的特征向量， 为噪声方差， 为信号入射实际角度， 为估计角度；

(5.19)

式中 其中

由上面DOA估计的方差公式我们可以看出，信号子空间特征矢量所对应的特征值 (m=l，2，…P)越接近于噪声方差 ，即 的值越小，则 的值就越大，即DOA估计的方差也越大，算法的性能较差；反之，如果 的值越大，则 的值就越小，算法性能就越小。