数学建模最优化方法：动态规划学习笔记

动态规划简介

动态规划是求解多阶段决策问题的一种最优化方法。多阶段决策过程是指这样一类特殊的决策问题：由问题的特性可将整个决策过程按时间、空间等标志划分为若干相互关联又相互区别的阶段。在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的效果。由于各阶段决策间有机地联系，本阶段的决策会影响到下一段的决策。所以在作决策时不仅要考虑本阶段最优，还要考虑对最终目标的影响。

递归算法

算法描述：
首先要明确的是问题可以分为几个阶段，分阶段的依据可以是时间，空间或者逻辑关系，例如将10枚金币分给4个商人这个过程，可以先把金币分给商人Tony，再在剩下的钱里面分一部分给Steven，再依次给Bruce和Jimmy，这样就构造出了简单的逻辑关系。阶段确定之后再看每个阶段所有可能的状态，用k表示阶段的序号，sk表示该阶段的状态，Sk表示阶段k所有可能状态的集合。决策就是对于阶段k所处的状态sk进行的操作，记作uk(sk),对应的Dk(sk)是该阶段所能采取的策略集合。策略则是该过程依次进行的所有决策的集合p1n{u1(s1),u2(s2),…un(sn)},所有可选的策略集合为P1n.
状态转移方程：动态规划中本阶段的状态是上一阶段状态和上一阶段的决策结果。如果给定了第k阶段的状态 ,本阶段决策，则第k+1阶段的状态也完全确定，关系为 sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。
指标函数:
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，它分为阶段指标函数和过程指标函数两种。阶段指标是指k阶段从状态sk 出发,采用决策uk 时的效益，用 d(sk,uk)表示。对于任意一个给定的k，从第k阶段到第n阶段的过程称为一个原过程的后部子过程。V1n(s1,p1n)表示初始状态为采用策略p1n时原过程的指标函数值。
最优指标函数
记为 fk(sk)，它表示从第k阶段状态采用最优策略pkn 到过程终止时的最佳效益值。当k=1时,是从初始状态到全过程结束时整体最优函数。
核心算法可用以下公式描述：
举例如下:

这是动态规划的经典例题：求A->E最短路径,而且形式十分简单，阶段也比较明显：5个阶段A->B->C->D->E。接下来用递推算法加以实现：

clear;clc;
%决策集合利用三维矩阵存储
Data=zeros(5,5,4);
Data(1,1:3,1)=[3 2 1];
Data(1:3,1:2,2)=[4 3;1 3;3 5];
Data(1:2,1:3,3)=[2 5 3;1 4 2];
Data(1:3,1,4)=[3;1;5];
Len=zeros(4,4);%路径长度
Route=zeros(5,5,4);%路径记录
choice=[1 3 2 3];%每个阶段可选操作数量
%开始
for i=4:-1:1if i==4for j=1:choice(i)Len(i,j)=Data(j,1,4);Route(j,1,i)=1;endelsefor j=1:choice(i)Len(i,j)=min(Data(j,1:choice(i+1),i)+Len(i+1,1:choice(i+1)));ind=find((Data(j,1:choice(i+1),i)+Len(i+1,1:choice(i+1)))==Len(i,j));Route(j,ind,i)=ones(size(ind));endend
end
way=[];
ind=2;
way(end+1)=ind;
%从路径记录中读出路径
for i=2:4ind=find(Route(ind,1:choice(i),i)==1);way(end+1)=ind;
end

结果

Len =8     0     0     07     6     8     05     4     0     03     1     5     0
way =2     1     1     1

从A开始的最短路径为8，从B1开始的最短路径为7，从B2开始的最短路径为6，依此类推。具体路径为A->B2->C1->D1->E。分的阶段再多一些，每个阶段的可能状态在多一些，枚举算法将会计算所有可能路径的长度，每条路径的节点数量为阶段数k,然后从中取最小。该算法虽然计算路径的数量，但每条路径的节点数量都是2。而且当走到B1点的时候不必再向下一一探索，直接选择已经求出的最短路径即可。
从上面的算法描述可以很快判断出这就是递归算法，针对下面一道更经典，更容易的例题，分别用递归与递推来实现：

递归：

global Route;%路线记录
global Data;%数据集
global Flag;%路径长度记录，同时也是是否再次需要计算的一个标志
global sum;%计算次数
sum=0;
Data=[13 0 0 0 0;11 8 0 0 0;12 7 26 0 0;6 14 15 8 0;12 7 13 24 11];
Route=zeros(size(Data));
Flag=zeros(size(Data));
pyramid(1,1);
for i=1:size(Data,1)Route(i,find(Flag(i,:)==max(Flag(i,:))))=1;
end

function Sum=pyramid(i,j)
global Data;
global Flag;
global sum;
if Flag(i,j)>0%如果已经计算过以该该点为起点的最短路程，直接赋值即可，避免重复计算Sum=Flag(i,j);return;
end
if i==size(Data,1)%递归返回Sum=Data(i,j);Flag(i,j)=Sum;sum=sum+1;return;
elseSum=Data(i,j)+max(pyramid(i+1,j),pyramid(i+1,j+1));Flag(i,j)=Sum;sum=sum+1;return;
end

结果（将金字塔都推到左面对齐）：

Flag =86     0     0     0     057    73     0     0     039    46    65     0     018    27    39    32     012     7    13    24    11
Route =1     0     0     0     00     1     0     0     00     0     1     0     00     0     1     0     00     0     0     1     0

递推：

clear;clc;
Data=[13 0 0 0 0;11 8 0 0 0;12 7 26 0 0;6 14 15 8 0;12 7 13 24 11];
Route=zeros(size(Data));
Flag=zeros(size(Data));
n=size(Data,1);
sum=0;
for i=n:-1:1for j=1:iif i==nFlag(i,j)=Data(i,j);elseFlag(i,j)=Data(i,j)+max(Flag(i+1,j),Flag(i+1,j+1));sum=sum+1;endend
end
for i=1:size(Data,1)Route(i,find(Flag(i,:)==max(Flag(i,:))))=1;
end

最后一例：将拥有非连续目标函数的线性规划问题转为动态规划问题（思路和之前算法描述里面商人分金币的例子完全一致，不必赘述，直接递归实现）
资源分配问题
资源分配问题就是将数量一定的资源恰当地分配给若干个使用者，而使总的目标函数值为最优。资源分配问题本属于静态规划，但当我们认为引进时间因素后，可把它们看成是按阶段进行的多阶段决策问题。
例：某市电信局有4套通信设备，准备分给甲、乙、丙三个地区支局，事先调查了各支局的经营情况，并对各种分配方案作了经济效益的估计，如表所示其中设备数为0时的收益，指已有的经营收益，问应如何分配这四套设备，使总的收益为最大？

clear;clc;
num=[];
[num,out]=resource_distribution(1,num);

function [newnum,out]=resource_distribution(i,num)
if i==4out=0;newnum=num;return;
elsecompare=[];NEWNUM=zeros(1,3,length(0:4-sum(num)));for k=0:4-sum(num)temp=num;if i<3temp(end+1)=k;else temp(end+1)=4-sum(num);end[temp_num,value]=resource_distribution(i+1,temp);NEWNUM(:,:,k+1)=temp_num;compare(end+1)=value+profit(i,k+1);endind=find(compare==max(compare));newnum=NEWNUM(:,:,ind(1));out=max(compare);return
end

function profit=profit(index,num)
A=[38 41 48 60 66;40 42 50 60 66;48 64 68 78 78];
profit=A(index,num);

结果：

>> outout =164>> numnum =3     0     1

最优分配：给甲3个，给乙0丙

后记

这里是用matlab进行的算法实现，matlab完全不需要编程起点，直接上手就能用，以上全都是最简单的单一解，对于具有同样的最优指标，很可能有多个解，就竞赛而言，给出一种可行方案已经足够，但本着科学的精神，我无法允许自己将如此简单的题目还做的半吊子！在学习相关数据结构知识后，必将以上垃圾代码更新。最后想吐槽一下自己，高考不咋地，被分到了数学专业，每天各种定理，计算。前三个学期光顾着搞绩点，结果数学基础知识学了一堆，动手解决问题的能力却垃圾地不行，写以上这样的小程序还调了很久。自己的目前的目标就是往机器学习方面发展，可是没有人领着入门，只能马上独自啃书，门要靠自己打开，我大学不想再后悔一次了。嘴炮说再多也是废话，这是我第一次，也是最后一次在网络上表达自己真实的感受，今后只能用行为来证明自己。