电磁场与电磁波-场论基础

场论基础

最近复习电磁场与电磁波时，又学习了一遍场论基础，但是现有教程的概念比之前本科学习的谢处方老师的《电磁场与电磁波》的概念要难理解，另外哈密顿算子、拉普拉斯算子在图像方面也有重要应用，遂在此进行简单总结，本人水平有限，欢迎批评指正！

方向导数

场u(P)在某点P具有不同的方向导数值（沿不同方向变化率不同）
定义如下：

梯度

grad u或者▽u用来表示梯度

特点：

梯度是矢量
梯度的方向是场u(P)在某点P具有最大方向导数的方向
梯度的大小是场u(P)在某点P具有最大方向导数的模

哈密顿算子（▽）

从梯度的概念中，可以引出哈密顿算子的定义：

上式为直角坐标系中的定义，在圆柱坐标和球坐标中：

散度

在了解散度之前，需要知道通量的概念

通量

如果s为闭合曲面，通过闭合曲面的总通量：

散度的定义

矢量场穿过闭合曲面是一个积分特性，不能反映场内每一个点的通量特性，为此引入散度的概念
将积分结果Φ（通量）与体积V相除，表示单位体积内源所发出的通量大小，当体积V趋近于0时，就可以来表示点P处源的强度，称之为在P点的散度

散度的计算式

结合哈密顿算子的定义，可以将F的散度表示为矢量F与哈密顿算子的矢量积：

旋度

了解旋度之前，需要了解环流量的概念

环流量

矢量场F沿场中一闭合路径C的曲线积分，dl为线元矢量，方向沿着路径C的切线方向

对于具体的场，环流量有具体的意义，若F为力场，则环流量表示沿闭合曲线C的积分

在电磁学中，磁场强度H沿闭合路径C的环流就是通过以路径C为边界的曲面S的总电流。
如果矢量场的环流不为0，则认为具有涡旋源（与通量源不同，既不发出矢量线，也不汇聚矢量线），所产生的矢量线是闭合曲线。

旋度的定义

旋度的计算

直角坐标系下，旋度的计算

圆柱坐标系下：

球坐标系下：

拉普拉斯算子

标量场u的梯度▽u是一个矢量场，如果再对矢量场▽u求散度，即为▽·▽u，称为标量场中的拉普拉斯运算

个人觉得谢老师书中的定义非常棒，讲的很清晰，比一般书中直接给出符号要好理解的多
直角坐标系中

圆柱坐标系中

球坐标系中

对于矢量场F,拉普拉斯算符对矢量场进行运算时已失去梯度的散度的概念，故定义如下：

参考文献
谢处方-《电磁场与电磁波》（第四版），高等教育出版社