©PaperWeekly 原创 · 作者｜张文翔

单位｜京东集团算法工程师

研究方向｜推荐算法

激活函数之性质

1. 非线性：即导数不是常数。保证多层网络不退化成单层线性网络。这也是激活函数的意义所在。

2. 可微性：保证了在优化中梯度的可计算性。虽然 ReLU 存在有限个点处不可微，但处处 subgradient，可以替代梯度。

3. 计算简单：激活函数复杂就会降低计算速度，因此 RELU 要比 Exp 等操作的激活函数更受欢迎。

4. 非饱和性（saturation）：饱和指的是在某些区间梯度接近于零（即梯度消失），使得参数无法继续更新的问题。最经典的例子是 Sigmoid，它的导数在 x 为比较大的正值和比较小的负值时都会接近于 0。RELU 对于 x<0，其梯度恒为 0，这时候它也会出现饱和的现象。Leaky ReLU 和 PReLU 的提出正是为了解决这一问题。

5. 单调性（monotonic）：即导数符号不变。当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。但是激活函数如 mish 等并不满足单调的条件，因此单调性并不是硬性条件，因为神经网络本来就是非凸的。

6. 参数少：大部分激活函数都是没有参数的。像 PReLU 带单个参数会略微增加网络的大小。还有一个例外是 Maxout，尽管本身没有参数，但在同样输出通道数下 k 路 Maxout 需要的输入通道数是其它函数的 k 倍，这意味着神经元数目也需要变为 k 倍。

参考：

[1] 如果在前向传播的过程中使用了不可导的函数，是不是就不能进行反向传播了？

https://www.zhihu.com/question/297337220/answer/936415957

[2] 为什么神经网络中的激活函数大部分都是单调的？

https://www.zhihu.com/question/66747114/answer/372830123

激活函数之简介

1. Sigmoid激活函数

sigmoid 函数及其导数如下：

优点：

• 梯度平滑

• 输出值在 0-1 之间

缺点：

• 激活函数计算量大（在正向传播和反向传播中都包含幂运算和除法）；

• 梯度消失：输入值较大或较小（图像两侧）时，sigmoid 函数值接近于零。sigmoid 导数则接近于零，导致最终的梯度接近于零，无法实现更新参数的目的；

• Sigmoid 的输出不是 0 为中心（zero-centered）。

1. Sigmoid激活函数

sigmoid 函数及其导数如下：

优点：

• 梯度平滑

• 输出值在 0-1 之间

缺点：

• 激活函数计算量大（在正向传播和反向传播中都包含幂运算和除法）；

• 梯度消失：输入值较大或较小（图像两侧）时，sigmoid 函数值接近于零。sigmoid 导数则接近于零，导致最终的梯度接近于零，无法实现更新参数的目的；

• Sigmoid 的输出不是 0 为中心（zero-centered）。

2. tanh激活函数

tanh 函数及其导数：

优点：

• 同 sigmoid

• tanh(x) 的梯度消失问题比 sigmoid 要轻，收敛更快

• 输出是以 0 为中心 zero-centered

缺点：

• 同 sigmoid

3. 整流线性单元（ReLU）

ReLU 的函数及其导数如下：

优点：

• 简单高效：不涉及指数等运算；

• 一定程度缓解梯度消失问题：因为导数为 1，不会像 sigmoid 那样由于导数较小，而导致连乘得到的梯度逐渐消失。

缺点：

dying Relu：即网络的部分分量都永远不会更新，可以参考：

https://datascience.stackexchange.com/questions/5706/what-is-the-dying-relu-problem-in-neural-networks

4. 指数线性单元（ELU）

ELU 的函数及其导数如下：

优点：

• 能避免死亡 ReLU 问题：x 小于 0 时函数值不再是 0，因此可以避免 dying relu 问题；

• 能得到负值输出，这能帮助网络向正确的方向推动权重和偏置变化。

缺点：

• 计算耗时：包含指数运算；

• α 值是超参数，需要人工设定

5. 扩展型指数线性单元激活函数（SELU）

SELU 源于论文 Self-Normalizing Neural Networks，作者为 Sepp Hochreiter，ELU 同样来自于他们组。

SELU 其实就是 ELU 乘 lambda，关键在于这个 lambda 是大于 1 的，论文中给出了 lambda 和 alpha 的值：

• lambda = 1.0507

• alpha = 1.67326

SELU 的函数及其导数如下：

优点：

• SELU 激活能够对神经网络进行自归一化（self-normalizing）；

• 不可能出现梯度消失或爆炸问题，论文附录的定理 2 和 3 提供了证明。

缺点：

• 应用较少，需要更多验证；

• lecun_normal 和 Alpha Dropout：需要 lecun_normal 进行权重初始化；如果 dropout，则必须用 Alpha Dropout 的特殊版本。

6. 渗漏型整流线性单元激活函数（Leaky ReLU）

leak_relu 的函数及其导数如下：

优点：

• 类似于 ELU，能避免死亡 ReLU 问题：x 小于 0 时候，导数是一个小的数值，而不是 0；

• 与 ELU 类似，能得到负值输出；

• 计算快速：不包含指数运算。

缺点：

• 同 ELU，α 值是超参数，需要人工设定；

• 在微分时，两部分都是线性的；而 ELU 的一部分是线性的，一部分是非线性的。

7. Parametric ReLU (PRELU)

形式上与 Leak_ReLU 在形式上类似，不同之处在于：PReLU 的参数 alpha 是可学习的，需要根据梯度更新。

• alpha=0：退化为 ReLU

• alpha 固定不更新，退化为 Leak_ReLU

优点：

与 ReLU 相同。

缺点：

在不同问题中，表现不一。

8. 高斯误差线性单元（Gaussian Error Linear Unit，GELU）

Dropout 和 ReLU 都希望将“不重要”的激活信息变为零。以 ReLU 为例，对于每个输入 x 都会乘以一个分布，这个分布在 x>0 时为常数 1，在 x≤0 时为常数0。而 GELU 也是在 x（服从标准正态分布）的基础上乘以一个分布，这个分布就是伯努利分布 Φ(x) = P(X≤x)。

因此，高斯误差线性单元（GELU）为 GELU(x) = x*P(X≤x)。

• 随着 x 的降低，它被归零的概率会升高。对于 ReLU 来说，这个界限就是 0，输入少于零就会被归零；

• 与 RELU 类似：对输入的依赖；

• 与 RELU 不同：软依赖 P(X≤x)，而非简单 0-1 依赖；

• 直观理解：可以按当前输入 x 在其它所有输入中的位置来缩放 x。

但是这个函数无法直接计算，需要通过另外的方法来逼近这样的激活函数，研究者得出来两个逼近函数：

第二个逼近函数，与谷歌 2017 年提出来的 Swish 激活函数类似：f(x) = x · sigmoid(x)，后面详细介绍。

以第一个近似函数为例，GELU 的函数及其导数如下：

优点：

• 在 NLP 领域效果最佳；尤其在 Transformer 模型中表现最好；

• 类似 RELU 能避免梯度消失问题。

缺点：

• 2016 年提出较新颖；

• 计算量大：类似 ELU，涉及到指数运算。

9. Swish by Google 2017

Swish 激活函数形式为：f(x)=x*sigmoid(βx)。

• β 是个常数或可训练的参数，通常所说的 Swish 是指 β=1；

• β=1.702 时，可以看作是 GELU 激活函数。

优点：

据论文介绍，Swish 效果优于 ReLU：

https://arxiv.org/abs/1710.05941v2

缺点：

计算量大：sigmoid 涉及到指数运算。

10. Mish by Diganta Misra 2019

Mish=x * tanh(ln(1+e^x))

在函数形式和图像上，都与 GELU 和 Swish(β=1) 类似。

优点：

根据论文介绍：

https://arxiv.org/abs/1908.08681

• Mish 函数保证在曲线上几乎所有点上的平滑度；

• 随着层深的增加，ReLU 精度迅速下降，其次是 Swish。而 Mish 能更好地保持准确性。

缺点：

2019 年提出，需要时间和更多实际应用验证。

11. Maxout

Maxout 的参数量较大，因此实际应用中比较少。

普通网络每一层只有一个参数矩阵 W，maxout 则有 k 个参数 W，每个隐藏单元只取 k 个 W*x+b 的计算结果中最大的。下图比较形象：

• Maxout 可以拟合任意的的凸函数

• Maxout 与 Dropout 的结合效果比较好

12. Data Adaptive Activation Function (Dice) by alibaba 2018

这是阿里巴巴的一篇 CTR 论文 Deep Interest Network for Click-Through Rate Prediction 中提出的一个激活函数，根据 Parameter ReLU 改造而来的。

通过下图来看一下 PReLU 和 Dice 的异同：

• 激活函数的形式相同：f(s) = p(s) * s + (1 − p(s)) · αs

• p(s)的计算方式不同：

• • PReLU：p(s) 是指示函数 I(s>0)

  • Dice：p(s) 是 sigmoid(BN(s))，BN 代表 Batch Normalization

Dice 可以看作是一种广义的 PReLu，当 E(s) = 0 且 Var(s) = 0 时，Dice 退化为 PReLU。

Dice 受到数据影响，E(s) 决定其 rectified point：PReLU 是在 0 的位置，而 Dice 是在 E(s) 位置。

与Batch Normalization 有异曲同工之妙，可以解决 Internal Covariate Shift 问题。论文 Deep Interest Network for Click-Through Rate Prediction 实验表明 ：Dice 效果优于 PReLU。

具体实现可以参考 Dice 代码：

https://github.com/mouna99/dien/blob/master/script/Dice.py

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