1，关于小波变换的原理不再总结，以前转载过别人的文章，这篇是工程实现的原理总结。

2，关于小波变换的实现有mallat滤波器组的方法和提升小波的方法。

3，mallat滤波器组的方法大致框架如下

其中G和H的关系式为

而H可以由matlab中wfilters命令得到。

下图是基于查找表的mallat算法框架

用matlab卷积的方法实现的小波分解与合成，弄了一个正弦序列，长度1000，有噪声，通过wavedec得到分解后的序列然后通过wfilter生成的滤波器系数与正弦序列卷积然后抽取得到新的序列。

[c,l]=wavedec(ns,4,'db1');
[l_d,h_d,l_r,h_r]=wfilters('db1');
tempm=conv(ns,l_d);
tempn=conv(ns,h_d);
m=tempm(2:2:1000);
n=tempn(2:2:1000);

如果想要合成的话就先插值然后经过重构滤波器之后相加。

m_up=zeros(1,1000);
n_up=zeros(1,1000);
m_up(2:2:1000)=m;
n_up(2:2:1000)=n;
m_back=conv(m_up,l_r);
n_back=conv(n_up,h_r);
ns_back=m_back+n_back;

去掉第一个元素就得到之前的序列。

当然，可以用循环卷积代替卷积得到卷积结果，参考例子（转载）

小波谱分析mallat算法经典程序

clc;clear;
%% 1.正弦波定义
f1=50; % 频率1
f2=100; % 频率2
fs=2*(f1+f2); % 采样频率
Ts=1/fs; % 采样间隔
N=120; % 采样点数
n=1:N;
y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts); % 正弦波混合
figure(1)
plot(y);
title('两个正弦信号')
figure(2)
stem(abs(fft(y)));
title('两信号频谱')
%% 2.小波滤波器谱分析
h=wfilters('db30','l'); % 低通
g=wfilters('db30','h'); % 高通
h=[h,zeros(1,N-length(h))]; % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）
g=[g,zeros(1,N-length(g))]; % 补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）
figure(3);
stem(abs(fft(h)));
title('低通滤波器图')
figure(4);
stem(abs(fft(g)));
title('高通滤波器图')
%% 3.MALLET分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)
sig1=ifft(fft(y).*fft(h)); % 低通(低频分量)
sig2=ifft(fft(y).*fft(g)); % 高通(高频分量)
figure(5); % 信号图
subplot(2,1,1)
plot(real(sig1));
title('分解信号1')
subplot(2,1,2)
plot(real(sig2));
title('分解信号2')
figure(6); % 频谱图
subplot(2,1,1)
stem(abs(fft(sig1)));
title('分解信号1频谱')
subplot(2,1,2)
stem(abs(fft(sig2)));
title('分解信号2频谱')
%% 4.MALLET重构算法
sig1=dyaddown(sig1); % 2抽取
sig2=dyaddown(sig2); % 2抽取
sig1=dyadup(sig1); % 2插值
sig2=dyadup(sig2); % 2插值
sig1=sig1(1,[1:N]); % 去掉最后一个零
sig2=sig2(1,[1:N]); % 去掉最后一个零
hr=h(end:-1:1); % 重构低通
gr=g(end:-1:1); % 重构高通
hr=circshift(hr',1)'; % 位置调整圆周右移一位
gr=circshift(gr',1)'; % 位置调整圆周右移一位
sig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1)); % 低频
sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2)); % 高频
sig=sig1+sig2; % 源信号
%% 5.比较
figure(7);
subplot(2,1,1)
plot(real(sig1));
title('重构低频信号');
subplot(2,1,2)
plot(real(sig2));
title('重构高频信号');
figure(8);
subplot(2,1,1)
stem(abs(fft(sig1)));
title('重构低频信号频谱');
subplot(2,1,2)
stem(abs(fft(sig2)));
title('重构高频信号频谱');
figure(9)
plot(real(sig),'r','linewidth',2);
hold on;
plot(y);
legend('重构信号','原始信号')
title('重构信号与原始信号比较')

4，小波提升算法实现小波变换基本原理

5,5-3变换fpga实现框图

6，关于数据的周期对称延拓