最近力扣刷了一些广度优先，深度优先的题目，看了b站的奇乐编程学院的一个寻路算法视频，突然想到这个知识点在离散的课堂上也讲过，从（0，0）到（n，n）要走多少步，其中还包括一些特殊问题，比如不能通过对角线，有障碍物等。

卡特兰数

学过离散的孩子应该都知道这个神奇的东西，我理解的卡特兰数是一个满足很多现实情况的数列。比如一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? 又比如依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？…比较经典的问题就是今天要讨论的从（0，0）到（n，n）一共有多少种方式或者是最短路径是什么。卡特兰数是有公式可以解决的，这里先给出求卡特兰数c++的应用。

void catalan() //求卡特兰数
{int i, j, len, carry, temp;a[1][0] = b[1] = 1;len = 1;for(i = 2; i <= 100; i++){for(j = 0; j < len; j++) //乘法a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);carry = 0;for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果{temp = a[i][j] + carry;a[i][j] = temp % 10;carry = temp / 10;}while(carry) //进位处理{a[i][len++] = carry % 10;carry /= 10;}carry = 0;for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法{temp = carry*10 + a[i][j];a[i][j] = temp/(i+1);carry = temp%(i+1);}while(!a[i][len-1]) //高位零处理len --;b[i] = len;}
}

广度优先

广度优先大家都很熟了，而且寻道这类问题广度优先几乎是万能解法，当然了既然是万能解法那往往效率就不是最高的。从起点开始把起点周围四个点进队，每次从队首拿一个出来并标记为已访问，直到队列为空则跳出循环。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;const int Min = 0;
const int Max = 10;
int Map[Max + 1][Max + 1] = { 0 };
int mark[Max + 1][Max + 1] = { 0 };
class find_path {public:void dfs(pair<int,int> begin,pair<int,int>end) {//Exception//...queue<pair<int, int>>qu;qu.emplace(begin);while (!qu.empty()) {pair<int, int>temp = qu.front();qu.pop();if (temp.first-1 >= Min && !Map[temp.first-1][temp.second ]) {pair<int, int>up(temp.first-1, temp.second );if (up == end)break;qu.emplace(up);Map[temp.first-1][temp.second ] = 1;mark[temp.first-1][temp.second ] = 1;}if (temp.first+1 <=Max && !Map[temp.first+1][temp.second ]) {pair<int, int>down(temp.first+1, temp.second );if (down == end)break;qu.emplace(down);Map[temp.first+1][temp.second ] = 1;mark[temp.first+1][temp.second ] = 2;}if (temp.second-1 >= Min && !Map[temp.first ][temp.second-1]) {pair<int, int>left(temp.first , temp.second-1);if (left == end)break;qu.emplace(left);Map[temp.first][temp.second-1] = 1;mark[temp.first][temp.second-1] = 3;}if (temp.second + 1 >= Min && !Map[temp.first][temp.second + 1]) {pair<int, int>right(temp.first , temp.second+1);if (right == end)break;qu.emplace(right);Map[temp.first][temp.second + 1] = 1;mark[temp.first][temp.second + 1] = 4;}}}
};int main() {find_path test;pair<int, int>begin(1, 1);pair<int, int>end(6, 6);Map[begin.first][begin.second] = 1;mark[begin.first][begin.second] = 5;mark[end.first][end.second] = 6;test.dfs(begin,end);for (int i = 0; i < Max + 1; i++) {for (int j = 0; j < Max + 1; j++) {switch (mark[i][j]) {case 1:cout << "↑ "; break;case 2:cout << "↓ "; break;case 3:cout << "← "; break;case 4:cout << "→ "; break;case 5:cout << "起 "; break;case 6:cout << "终 "; break;}}cout << endl;}}

写的确实有点啰嗦了，四个if直接暴露了我编程新手的现实。这里没有增加障碍物，当然也并不麻烦，只需要提前把障碍物的点的map设为1即可。

A star 算法

这是在视频里面看到的，据视频所说这是最常见的算法，它比广度优先高级的地方在于增加了一个花费（感觉有点像贪心算法）把当前花费加上预估花费作为判断队列出队的条件，花费少的先出队。这可以帮助我们尽快找到最短路径。其实也就是把广度优先算法中的队列换成优先队列即可，代码以后再补充吧。

这里贴出视频网址https://www.bilibili.com/video/BV1bv411y79P。

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