【数学和算法】如何理解特征值为复数的情况

如何理解特征值为复数的情况？

此“旋转”非彼“旋转”。可建立下面的复空间维度矩阵（n行2列）以做解释：

行：第i行代表复空间的第i维。
列：由于复空间的一维实际上对应着一个pair维度——实数维和虚数维，因此可分别用第一列和第二列表示。

这样一来，复空间的维度就可以表达清楚了。比如 d21表示复空间第2维的实数维， d32 表示复空间第3维的虚数维。——至此，n维复空间便可看作是一个2n维实空间。

所以，复空间的一维其实不像实空间的一维那样代表一条直线，而是每一个维度都代表一个复平面（比如复空间第3维其实是实数维d31 和虚数维d32 构成的平面）。

那么就很明显了：

1.复数特征值代表的旋转其实是在每个维度所蕴含的复平面上进行，比如从复空间的第3维实数维上转到了第3维的虚数维上。在这种情况下，尽管向量发生了旋转，但它其实还是在第3维上。不妨给这类旋转起个名叫“行旋转”。
2.而复数矩阵代表的则是n维复空间上的变换，它让向量旋转是跨越维度的，比如从第3维变换到了第4维上（当然也可能伴有在各维度所蕴含复平面上的旋转，但典型特征是穿越维度的变换）。不妨给这类旋转起个名叫“列旋转”。
所以虽然都叫“旋转”，但其实一个是“行旋转”，一个是“列旋转”。

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