3.1 能控性的定义

3.2 线性定常系统的能控性判别

3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别

3.2.2 直接从A到B判别系统的能控性

3.3 线性连续定常系统的能观性

3.3.1 能观性定义

3.3.2 定常系统能观性的判别

3.4 离散时间系统的能控性和能观性

3.4.1 能控性矩阵M

3.4.2 能观性矩阵N

3.5 时变系统的能控性和能观性

3.5.1 能控性判别

3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系

3.6 能控性和能观性的对偶关系

3.6.1 线性系统的对偶关系

3.6.2 对偶原理

3.6.3 时变系统的对偶原理

3.7 状态空间表达式的能控标准型和能观标准型

3.7.1 单输入系统的能控标准型

3.7.2 单输入系统的能观标准型

3.8 线性系统的结构分解

3.8.1 按能控性分解

3.8.2 按能观性分解

3.8.3 按能控性和能观性进行分解

3.9 传递函数阵的实现问题

3.9.1 实现问题的基本概念

3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现

3.9.3 最小实现

3.10 传递函数中零极点对消与状态能控能观性之间的关系

3.1 能控性的定义

能控性考察系统在控制作用 $u(t)$ 的控制下，状态矢量 $x(t)$ 的转移情况，而与输出 $y(t)$ 无关。

1.线性连续定常系统的能控性定义

关键词：存在一个分段连续输入 $u(t)$ ;有限时间区间[ $t_{0}$ , $t_{f}$ ];指定的任一终端状态 $x(t_{f})$

能达性：将上述 $x(t_{0})$ 初始化为0

2.线性连续时变系统的能控性定义

应强调在 $t_{0}$ 时刻系统是能控的。

3.离散时间系统

看书

3.2 线性定常系统的能控性判别

3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别

1. 单输入系统

$\dot{x_{2}}$ 可以受控制量u的控制，但 $\dot{x_{1}}$ 和u无关。所以是不能控系统。

这是一个状态完全能控的系统

不能控系统

2. 具有一般系统矩阵的多输入系统

前提：系统的线性变换不改变系统的能控性条件

一般系统的能控性判据：

若A的特征值互异，变换成约旦矩阵，充要条件：控制矩阵 $T^{-1}B$ 的各行元素没有全是0的

若A的特征值有相同

1. 在 $T^{-1}B$ 中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全是0的

2. $T^{-1}B$ 中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全是0的

典型系统： $\dot{x}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ -a_{0}&-a_{1} &-a_{2} \end{pmatrix}x +\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}u$ 是能控的。

3.2.2 直接从A到B判别系统的能控性

1. 单输入系统

对 $\dot{x}=Ax+bu$ ,其能控的充分必要条件是由A，b 构成的能控性矩阵： $M=(b,Ab,A^{2}b,..., A^{n-1}b)$ 满秩，即rankM=n. 若rankM<n,系统不能控。

同时，也可以根据u——x间的传递函数阵 $W_{ux}(s)=(sI-A)^{-1}b$ 在这种情况下，状态完全能控的充要条件是 $W_{ux}(s)$ 没有零极点重合现象。

2. 多输入系统

和上述单输入系统的能控充要条件类似，将b换为B即可

常用 $rankM = rank(MM^{T})$ 来代替计算M的秩

3.3 线性连续定常系统的能观性

3.3.1 能观性定义

能观性表示输出 $y(t)$ 反应 $x(t)$ 的能力

如果对任意给定的输入u，在有限观测时间 $t_{f}$ > $t_{0}$ ，使得根据[ $t_{0}$ , $t_{f}$ ]期间的输出 $y(t)$ 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 $x(t_{0})$ ,则称状态 $x(t_{0})$ 可观测，若系统的每一个状态都可观测，则系统是状态完全能观测

说明：

3.3.2 定常系统能观性的判别

1.转换为约旦标准型的判别方法

（1）A为对角线矩阵

能观充要条件：输出矩阵C中没有全为0的列，若第i列全为0，则与之相应的 $x_{i}(t)$ 是不能观的

（2）A为约旦标准型矩阵

充要条件：输出矩阵C（CT)中第一列元素不全为0

2. 直接从A，C阵判断系统的能观性

充要条件：下述矩阵N的秩是n

3.4 离散时间系统的能控性和能观性

3.4.1 能控性矩阵M

状态方程： $x(k+1)=Gx(k)+hu(k)$

能控充要条件： $M=(h,Gh,...,G^{n-2}h,G^{n-1}h)$ （[G,h]对）的秩是n

3.4.2 能观性矩阵N

能观充要条件：上述矩阵的秩是n

3.5 时变系统的能控性和能观性

3.5.1 能控性判别

1. 有关线性时变系统能控性的几点说明

7点

2. 线性连续时变系统的能控性判别

时变系统的状态方程： $\dot{x}=A(t)x+B(t)u$

状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵（即如下矩阵）是非奇异的。

另一种判别方法：

一定要注意是充分条件

3.5.2 能观性判别

1. 有关线性时变系统能观性的几点讨论

6点讨论

2. 线性连续时变系统的能观性判别

同样也可以通过判断rankR( $t_{f}$ )=n(注意只是充分条件）

3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的判别法之间的关系

时变系统中 $W_{0}(t_{0},t_{f})$ 的满秩与定常系统中（A,C）对的N满秩是等价的

3.6 能控性和能观性的对偶关系

3.6.1 线性系统的对偶关系

系统 $\Sigma _{1}$ : $\left\{\begin{matrix} \dot{x_{1}}=A_{1}x_{1}+B_{1}u_{1} \\ y_{1}=C_{1}x_{1} \end{matrix}\right.$ 系统 $\Sigma _{2}$ : $\left\{\begin{matrix} \dot{x_{2}}=A_{2}x_{2}+B_{2}u_{2} \\ y_{2}=C_{2}x_{2} \end{matrix}\right.$

当满足 $A_{2}=A_{1}^{T},B_{2}=C_{1}^{T},C_{2}=B_{1}^{T}$ 时两个系统是对偶的

以下是对偶系统的模拟结构图：

从传递函数阵看对偶系统的关系

$\begin{matrix} W_{1}(s)=C_{1}(sI-A)^{-1}B_{1}\\ W_{2}(s)=B_{1}^{T}[(sI-A)^{-1}]^{T}C_{1}^{T} \end{matrix}$

所以对偶系统的传递函数矩阵是互为转置的。系统输入——状态和状态——输出的传递函数阵也是互为转置的，且互为对偶的系统的特征方程式也是一样的。

3.6.2 对偶原理

系统 $\Sigma _{1}$ 和 $\Sigma _{2}$ 互为对偶，那么 $\Sigma _{1}$ 的能控性（能观性）等价于 $\Sigma _{2}$ 的能观性（能控性）

3.6.3 时变系统的对偶原理

3.7 状态空间表达式的能控标准型和能观标准型

3.7.1 单输入系统的能控标准型

转换为下述标准型的前提是系统状态完全能控

1.能控标准1型

2.能控标准2型

3.7.2 单输入系统的能观标准型

转换为下述标准型的前提是系统状态完全能观

1.能观标准1型

2.能观标准2型

3.8 线性系统的结构分解

3.8.1 按能控性分解

3.8.2 按能观性分解

类似于不完全能控的系统的分解

其中非奇异变换阵如下：

前 $n_{1}$ 个行矢量是能观性判别阵中的n1个线性无关的行，另外的（n-n1）行在确保非奇异的条件下是任意的！

3.8.3 按能控性和能观性进行分解

传递函数阵只是对系统的一种不完全的描述，如果在系统中添加不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数。

剩下的看书吧。。。

3.9 传递函数阵的实现问题

3.9.1 实现问题的基本概念

如果想找到实现，必须满足物理可实现性条件。即：

1）传递函数阵W(s)中的每一个元 $W_{ik}(s)$ (i=1,2,...,m; k=1,2,...,r)的分子分母多项式的系数均为实常数。

2）W(s)的元 $W_{ik}(s)$ 是s的真有理分式函数，即 $W_{ik}(s)$ 的分子多项式的次数低于或等于分母多项式的次数。

3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现

先写出传递函数形式

对上述形式进行能控标准型实现：

能观标准型实现：

3.9.3 最小实现

1.最小实现的定义

2.寻求最小实现的步骤

3.10 传递函数中零极点对消与状态能控能观性之间的关系

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