激光SLAM从理论到实践学习——第四节（激光SLAM的前端配准方法）
激光的前端配准算法（帧间匹配算法）
- 前端配准在视觉内叫做Tracking或者帧间匹配，对激光SLAM是有非常大的影响的
- 帧间匹配不一定说的是前后两帧进行匹配，也可以是任意帧之间进匹配
- 是一个Map—>Scan的过程，一个Scan和一个Map去匹配的过程
- 常用的方法有下面四种
- ICP匹配方法（对上节ICP算法的证明）
- PL-ICP匹配方法（与ICP算法相似，只是说误差是之间的）
- 基于优化的匹配方法（Hector和cartographer两种算法是基于优化的方法）
- 相关匹配方法及分支定界加速（CSM算法）
ICP匹配方法
ICP方法的目的：就是两帧3D点云的匹配，求解一个R和t使得下列式（误差）最小。
已知对应点的求解方法
就是先求一个平均点，每一个点云都求一个平均点，然后对任何一个点云进行平移操作，把它移到以P点为圆心的地方，然后构造一个矩阵W，然后对这个矩阵进行SVD分解，然后得到ICP的解R与t
下面对ICP的解 （R与t）进行证明
对加号左边与加号右边分别取极小值，所以加号右边=0时，即可得t=ux-Rup
现在来求R，现在加号左边是这样的式子
我们知道（红色字）
所以可以将加号左边写成
把两式展开
R的转置* R是=I 一个常数，a²那项也是常数，所以最后留下
所以最后就是
所以要求的就是上面这个式子的最小值，也就是求下面式子的最大值，然后得R
未知对应点的求解方法
上节已经推理
ICP实现过程
也就是求一个R和t，使得两个点云间的距离最短（下式（误差）最小），求解下式
t和R的求解过程忽略，得到R和t的解
然后就可以计算得两个点云间的最短距离（使得（误差）最小）
PL-ICP方法（已有开源代码—indigo下的CSM）
上节ICP其实别名是PP-ICP，Point-to-Point ，点到点距离的ICP匹配方法
PL-ICP是Point-to-Line，点到线距离的ICP匹配方法
他的算法流程（和PP-ICP没什么区别，就是误差形式不同，到后面也是求R和t）
基于优化的匹配方法（基于梯度，HectorSLAM是纯梯度优化方法、Cartogerepher用的是CSM+梯度优化）
基于优化的匹配方法实际上就是基于梯度的方法
示意图：其实就是求极值，按照梯度下降方向一步一步求极值
数学描述：T表示我们要求解的机器人的位姿，Si（T）表示把激光数据用位姿T进行转换，也就是说把激光数据（Pix、Piy）用一个T转换到世界坐标系下（地图坐标系下）得到一个二维的坐标（x，y）,i表示第i个激光束。
M(x)表示得到坐标x的地图占用概率（激光数据与地图最大匹配程度），激光数据与地图匹配程度最高是1，M(x)表示最大匹配程度，那么也就是1-minM(x)，所以有
这个M(x)一般会是个似然场，就是一个似然得分，目标函数就定义成如上图那样。所以我们只需要求得一个T，使得M(x)最大。
M（Si(t)）表示的是我们把每个激光束都统一到我们的世界坐标系下，然后求它占用的概率（与地图的最大匹配程度）越大代表激光与地图重合程度越好，机器人的位姿也就越准确。
目标函数E(T)这个式子他是非线性的，因为我们的旋转矩阵T，要求它的梯度，但因为地图是栅格化的也就是离散的，无法进行求解梯度，所以只能对地图进行插值。
求解这个式子还有一个前提就是需要知道梯度，所以他里面肯定是包含一个梯度项的，那为了求解这个梯度项，我们就必须对地图进行插值，那怎么对地图进行插值？这就是主要要讲的内容
基于优化方法的求解
目标函数依然是E(T)，设pi=(pix,piy)表示第i个激光点的坐标，Si(T)表示将激光点的坐标转换到世界坐标，M（Si(t)）是个非线性函数，对其进行一节泰勒展开，转换成线性函数E(T+△T)，下图中▽的意思是对△T进行求偏导，M(Si(T))是个常数项。得到线性函数E(T+△T)，对于线性系统，求其对△T的导数，并令其等于0得到下式
然后求解上式即可得到△T，令
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