1.卡方分布

卡方分布是独立标准正态随机变量Zi∼N(0,1)i=1,2，…，nZ_i \sim N(0,1) i = 1,2，…， nZi∼N(0,1)i=1,2，…，n。它只能取正值，而且通常是右偏的。
我们说变量X=∑i=1nZi2∼X2X =\sum_{i=1}^n Z^2_i\sim X^2X=∑i=1nZi2∼X2,有n个自由度，均值 E(X) = n，方差Var(X) = 2n。
概率分布函数pdf为

2.伽马分布

伽马分布X∼Γ(α,β)X\sim\Gamma(\alpha,\beta)X∼Γ(α,β)

α\alphaα形状参数（shape parameter)
决定了分布曲线的形状，也就是α\alphaα不同，分布曲线形状不同
β\betaβ尺度参数（scale parameter）
在其他参数一定时，β\betaβ不同，分布曲线的形状相似，但是高低、胖瘦不同，或者说是同一形状按照比例放大或缩小

概率密度分数
f(x)=1βαΓ(α)xα−1e−xβf(x)=\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{\frac{-x}{\beta}}f(x)=βαΓ(α)1xα−1eβ−x其中，x>0,α>0,β>0x>0,\alpha>0,\beta>0x>0,α>0,β>0
E(X)=αβE(X)=\alpha\betaE(X)=αβ 和 Var(X)=αβ2Var(X)=\alpha\beta^2Var(X)=αβ2

卡方分布是伽马分布的一种特殊形式，其中α=k/2,β=2,Γ(α=k/2,β=2)=Xk2\alpha=k/2,\beta=2,\Gamma(\alpha=k/2,\beta=2)=X^2_kα=k/2,β=2,Γ(α=k/2,β=2)=Xk2
若Q∼Xk2,aQ∼Γ(α=k/2,β=2Q\sim X^2_k, aQ \sim \Gamma(\alpha=k/2,\beta=2Q∼Xk2,aQ∼Γ(α=k/2,β=2

3.卡方独立性检验 Chi-square test for independence

X^2测试是一个非常灵活的测试，因为它可以应用于一系列的情况。

离散概率与计数类别的拟合(孟德尔遗传学)
使用离散区间的连续数据拟合模型(随机数生成器)

我们将介绍最后一个例子，它着眼于如何建立两个离散变量之间的独立性。我们检验原假设H0:变量是独立的vs. HA:变量不是独立的。
判断行列是否独立
eg 检验是否吸烟与癌症之间的独立性

画出列联表
计算出列联表中的成分的概率
假设两个变量相互独立P(AB)=P(A)*P(B)
计算P值

4.卡方拟合优度检验 Chi-Square Goodness-of-Fit Test

考虑一组具有g类的分类数据，其中观察到的计数Oi，因为i = 1,2，…提出了一个类别的概率模型，我们想检验它是否与我们的预期值拟合。

5.孟德尔遗传案例

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