为什么要做自相关分析？精讲解析应用场景和具体操作

1、作用

自相关（ACF）是指序列与其自身经过某些阶数滞后形成的序列之间存在某种程度的相关性，而偏自相关函数（PACF）是在其他序列给定情况下的两序列条件相关性的度量函数。一般来说（偏）自相关用于时间序列分析AR、MA的p、q进行定阶。

2、输入输出描述

输入：１个序列数据定量变量
输出：pacf/acf图，用于AR、MA的p、q进行定阶

3、学习网站

SPSSPRO-免费专业的在线数据分析平台

4、案例示例

案例：基于5年每月商品的销售量，预测某商品的未来五个月的销售量。

5、案例数据

（偏）自相关分析案例数据

6、案例操作

Step1：新建分析；
Step2：上传数据；
Step3：选择对应数据打开后进行预览，确认无误后点击开始分析；

step4：选择【（偏）自相关分析（pcaf/acf)】；
step5：查看对应的数据数据格式，【（偏）自相关分析（pcaf/acf)】要求输入１个时间序列数据定量变量。
step6：设置差分阶层（注意：一般情况下，（偏）自相关分析要求序列平稳或者几阶差分序列平稳。若是原序列是平稳序列，则选择差分阶层为0；若是原序列是非平稳序列，一阶差分序列是平稳序列，则选择差分阶层为1；若是原序列是非平稳序列，一阶差分序列是非平稳序列，二阶差分序列是平稳序列，则选择差分阶层为2。（本例由于在单位根检验到原序列不平稳，一阶差分序列平稳，所以设置差分阶层为1）
step7：点击【开始分析】，完成全部操作。

7、输出结果分析

输出结果1：模型残差自相关图（ACF）

图表说明：上图展示了自相关图（ACF），包括系数、置信上限和置信下限。由图可知，一阶和三阶自相关系数很明显地大于2倍标准差范围，且自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续，我们可以判断自相关图为拖尾。

输出结果2：模型残差偏自相关图（PACF）

图表说明：上图展示了偏自相关图（PACF），包括系数，置信上限和置信下限。由图可知，一阶和二阶偏自相关系数很明显地大于2倍标准差范围，自一阶偏自相关系数后，其余偏自相关系数都在2倍标准差范围以内，且二阶后偏自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然。我们可以判断偏自相关图为截尾。

8、注意事项

出现以下情况，通常视为（偏）自相关系数d阶截尾：
在最初的d阶明显大于2倍标准差范围
之后几乎95%的（偏）自相关系数都落在2倍标准差范围以内
且由非零自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然

出现以下情况，通常视为（偏）自相关系数拖尾：

如果有超过5%的样本（偏）自相关系数都落在两倍标准差范围之外
或者是由显著非0的（偏）自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续
分析自相关图和偏自相关图后，可以建立ARMA模型：
偏自相关（PACF）图在p阶进行截尾，自相关（ACF）图拖尾，ARMA模型可简化为AR（p）模型；
自相关（PACF）图在q阶进行截尾，偏自相关（ACF）图拖尾，ARMA模型可简化为MA（q）模型；
倘若自相关与偏自相关图均拖尾，可结合PACF、ACF图中最显著的阶数(最小值)作为p、q值；
倘若自相关与偏自相关图均截尾，可以选择更换更高的差分，或不适合建立ARMA模型；
推荐大家采用ARIMA的AIC（排列组合所有参数，求解AIC值最小对应的组合参数）自动寻优方式，通过PACF与ACF图定阶方式不准确，也比较难有说服力。

9、模型理论

自相关系数和偏自相关系数是统计学中定义的概念，是用以反映变量之间相关程度的统计指标，只是两者表现的具体变量之间的关系有所不同。
自相关系数度量的是同一事件在两个不同时期之间的相关程度，形象的讲就是度量自己过去的行为对自己现在的影响。
数学表示：

根据ACF求出滞后k自相关系数 ACF(k)时，实际上得到并不是Z(t)与Z(t-k)之间单纯的相关关系。
因为Z(t)同时还会受到中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和z(t-k)具有相关关系，所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对Z(t)与Z(t-k)的影响。
为了能单纯测度Z(t-k)对Z(t)的影响，引进偏自相关系数（PACF）的概念。对于平稳时间序列{Z(t)}，所谓滞后k偏自相关系数指在给定中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的干扰之后，Z(t-k)对Z(t)影响的相关程度。
数学表达：

10、参考文献

[1] 于宁莉,易东云,涂先勤.时间序列中自相关与偏相关函数分析[J].数学理论与应用,2007(01):54-57.