密钥生成过程

1.选取两个不同的大素数p和q，为了安全程度最大，p和q长度一致，计算模n=pq；

2.计算模n的欧拉函数：φ（n）=(p-1)(q-1);（至于为什么欧拉函数是这样，请移步浅谈欧拉函数）

3.随机选择一个整数 e， 1< e < φ(n)，且 e 与 φ(n) 互质

4.计算私钥d,满足d*e≡1(modφ(n))

加密和解密

加密（计算密文C）

C=M^e mod n

解密（计算明文M）

M=C^d mod n

举例

题目：已知p=7,q=11,e=17,M=8,应用RSA算法对明文M进行加密得到密文C，并对密文C解密。

解：

1.计算模，n=pq=77;

2.计算模n的欧拉函数，φ(n)=(p-1)(q-1)=6*10=60;

3.计算私钥d，e*d≡1(modφ(n))；d=53;

4.计算密文C，C=M^e modn=8^17mod77=57mod77，得C=57(第四步和第五步计算要用到中国剩余定理)

5.计算明文M，M=C^d modn=57^53mod77=8mod77，得M=8

顺带提一下数字签名技术

生成过程同上文密钥生成过程

数字签名过程

[H(m)]^d modn=S

数字签名验证

S^e modn=H(m)

举例

已知p=13，q=11，e=13，则有n=pq=143，φ(n)=(p-1)(q-1)= 120。求解e*d=13d=1(mod120)得d=37，即公钥为(n=143, e=13)，私钥为d=37

签名过程：假定消息m的哈希值h(m)=16，计算m的签名

s = h(m)^d mod n=16^37 mod 143 = 3

验证过程：收到签名s后，计算

s^e mod n=3^13 mod 143=16, h(m) mod n=16 mod 143 =16

等式h(m) mod n= se mod n成立，因此，此签名有效。

中国剩余定理

最后再扯一下中国剩余定理

话说“韩信用兵，多多益善。此是化工造物之妙。” 停停停，我怎么可能从这里开始讲起。

想看韩信点兵（证明过程）的去这里看→中国剩余定理（CRT ）

已知a * b mod n = ( a mod n ) * ( b mod n ) mod n

所以a^b mod n = (a mod n)^b mod n

举两个例子直观一些

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