文章目录

基本概念
- 介绍
- 定义
实际问题
- 例题1
- 方法
- 01序列
- 括号匹配
- 进出栈问题
- 312排列
- 不相交弦问题
- 二叉树的构成问题
- 凸多边形的三角划分
- 阶梯的矩形划分

也许更好的阅读体验

基本概念

介绍

学卡特兰数我觉得可能比组合数要难一点，因为组合数可以很明确的告诉你那个公式是在干什么，而卡特兰数却像是在用大量例子来解释什么时卡特兰数
这里，我对卡特兰数做一点自己的理解
卡特兰数是一个在组合数学里经常出现的一个数列，它并没有一个具体的意义，却是一个十分常见的数学规律

对卡特兰数的初步理解：有一些操作，这些操作有着一定的限制，如一种操作数不能超过另外一种操作数，或者两种操作不能有交集等，这些操作的合法操作顺序的数量

为了区分组合数，这里用fnf_nfn表示卡特兰数的第nnn项
从零开始，卡特兰数的前几项为1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790…

定义

递归定义

fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1f0f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0}fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1f0，其中n≥2n\geq 2n≥2

递推关系

fn=4n−2n+1fn−1f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}fn=n+14n−2fn−1

通项公式

fn=1n+1C2nnf_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}fn=n+11C2nn

经化简后可得

fn=C2nn−C2nn−1f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}fn=C2nn−C2nn−1

只要我们在解决问题时得到了上面的一个关系，那么你就已经解决了这个问题，因为他们都是卡特兰数列

实际问题

先用一个最经典的问题来帮助理解卡特兰数
去掉了所有的掩饰，将问题直接写出来就是

例题1

在一个w×hw\times hw×h的网格上，你最开始在(0,0)\left(0,0\right)(0,0)上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到(n,n),0≤n\left(n,n\right),0\leq n(n,n),0≤n有多少种不同的合法路径。

合法路径个数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

直接求不好，考虑求有多少种不合法路径
路径总数为在2n2n2n次移动中选nnn次向上移动，即C2nnC_{2n}^{n}C2nn

画一下图，我们把y=x+1y=x+1y=x+1这条线画出来，发现所有的合法路径都是不能碰到这条线的，碰到即说明是一条不合法路径
先随便画一条碰到这条线的不合法路径，所有的不合法路径都会与这条线有至少一个交点，我们把第一个交点设为(a,a+1)\left(a,a+1\right)(a,a+1)
如图

我们把(a,a+1)\left(a,a+1\right)(a,a+1)之后的路径全部按照y=x+1y=x+1y=x+1这条线对称过去
这样，最后的终点就会变成(n−1,n+1)\left(n-1,n+1\right)(n−1,n+1)

由于所有的不合法路径一定会与y=x+1y=x+1y=x+1有这么一个交点
我们可以得出，所有不合法路径对称后都唯一对应着一条到(n−1,n+1)\left(n-1,n+1\right)(n−1,n+1)的路径
且所有到(n−1,n+1)\left(n-1,n+1\right)(n−1,n+1)的一条路径都唯一对应着一条不合法路径（只需将其对称回去即可）
所以不合法路径总数是C2nn−1C_{2n}^{n-1}C2nn−1

那么合法的路径总数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

这是一个非常好用且重要的一个方法，其它的问题也可以用该方法解决
即找到不合法路径唯一对应的到另一个点的路径
如网格计数

方法

先将方法写在前面吧
相信大家都听过烧开水这个数学小故事吧
和学习数学一样，转化是基本思路，将一个问题转化为另外一个已经解决了的问题是最重要的

01序列

你现在有nnn个000和nnn个111，问有多少个长度为2n2n2n的序列，使得序列的任意一个前缀中111的个数都大于等于000的个数
例如n=2n=2n=2时
有1100,10101100,10101100,1010两种合法序列
而1001,0101,0110,00111001,0101,0110,00111001,0101,0110,0011都是不合法的序列

合法的序列个数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

我们把出现一个111看做向右走一格，出现一个111看做向上走一格，那么这个问题就和上面的例题111一模一样了

拓展
如果是nnn个1,m1,m1,m个000呢？
不过是最后的终点变为了(n,m)\left(n,m\right)(n,m)罢了
如果是111的个数不能够比mmm少kkk呢
我们只需将y=x+1y=x+1y=x+1这条线上下移动即可

括号匹配

你有nnn个左括号，nnn个右括号，问有多少个长度为2n2n2n的括号序列使得所有的括号都是合法的

合法的序列个数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

要使所有的括号合法，实际上就是在每一个前缀中左括号的数量都不少于右括号的数量
将左括号看做111，右括号看做000，这题又和上面那题一模一样了

进出栈问题

有一个栈，我们有2n2n2n次操作，nnn次进栈，nnn次出栈，问有多少中合法的进出栈序列

合法的序列个数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

要使序列合法，在任何一个前缀中进栈次数都不能少于出栈次数…\ldots…
后面就不用我说了吧，和上面的问题又是一模一样的了

312排列

一个长度为nnn的排列aaa，只要满足i<j<ki<j<ki<j<k且aj<ak<aia_j<a_k<a_iaj<ak<ai就称这个排列为312312312排列
求nnn的全排列中不是312312312排列的排列个数

答案也是卡特兰数

我们考虑312312312排列有什么样的特征
如果考虑一个排列能否被1,2,3,…,n−1,n1,2,3,\ldots,n-1,n1,2,3,…,n−1,n排列用进栈出栈来表示
那么312312312排列就是所有不能被表示出来的排列
那么这个问题就被转化成进出栈问题了

不相交弦问题

在一个圆周上分布着 2n2n2n个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的2n2n2n条弦彼此不相交的配对方案数
当n=4n=4n=4时，一种合法的配对方案为如图

合法的序列个数为C2nn−C2nn−1C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}C2nn−C2nn−1

这个问题没有上面的问题那么显然，我们规定一个点为初始点，然后规定一个方向为正方向
如规定最上面那个点为初始点，逆时针方向为正方向
然后我们把一个匹配第一次遇到的点（称为起点）旁边写一个左括号(((，一个匹配第二次遇到的点（称为终点）旁边写一个右括号)))
如图

看出来吗，在规定了这样的一个顺序后，在任意一个前缀中起点的个数都不能少于终点的个数
于是这又是一个卡特兰数列了

二叉树的构成问题

有nnn个点，问用这nnn个点最终能构成多少二叉树

答案仍然是卡特兰数列

这个问题不是用上面的方法，是用递归定义的卡特兰数

一个二叉树分为根节点，左子树，右子树
其中左子树和右子树也是二叉树，左右子树节点个数加起来等于n−1n-1n−1
设iii个点能构成fif_ifi个二叉树
我们枚举左子树有几个点可得
fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1∗f0f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+\ldots+f_{n-1}*f_{0}fn=f0∗fn−1+f1∗fn−2+…+fn−1∗f0
这个和卡特兰数列的递归定义是一模一样的

凸多边形的三角划分

一个凸的nnn边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案

答案还是卡特兰数列

我们在凸多边形中随便挑两个顶点连一条边，这个凸多边形就会被分成两个小凸多边形，由于每条直线不能相交，接下来我们就只要求这两个小凸多边形的划分方案然后乘起来即可

和二叉树的构成问题一样，我们枚举大凸多边形被分成的两个小凸多边形的大小即可

阶梯的矩形划分

一个阶梯可以被若干个矩形拼出来
图示是两种划分方式

像下图是不合法的划分方式

问，一个nnn阶矩形有多少种矩形划分

答案仍然是卡特兰数列

我们考虑阶梯的每个角

如图

每个角一定是属于不同的矩形的，我们考虑和左下角属于一个矩形的是哪个角
这个矩形将这个梯形又分成两个小梯形，如图

于是我们又可以写出递推式了
和卡特兰数列的递归式是一样的

卡特兰数就讲这么多吧

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧

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