MATLAB有关lsqcurvefit函数对多个未知参数函数拟合的相关问题

在MATLAB中关于函数拟合的函数主要分为两类。一类是线性拟合，另一类则是非线性拟合。非线性拟合相对来说，难度会比线性拟合更大一些。本篇文章主要是关于如何使用lsqcurvefit函数进行非线性拟合的，从而得到函数中的多个未知量。

1、首先，我们通过MATLAB命令行窗口输入help lsqcurvefit，对lsqcurvefit函数的使用作一个大致的了解。

Nonlinear least-squares solver——基于最小二乘法的非线性拟合

以下是使用lsqcurvefit的格式

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)
x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)
x = lsqcurvefit(problem)
[x,resnorm] = lsqcurvefit(___)
[x,resnorm,residual,exitflag,output] = lsqcurvefit(___)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian] = lsqcurvefit(___)

参数说明：
x0为初始解向量；xdata，ydata为满足关系ydata=F(x, xdata)的数据；
lb、ub为解向量的下界和上界lb≤x≤ub，若没有指定界，则lb=[ ]，ub=[ ]；
options为指定的优化参数；
fun为待拟合函数，计算x处拟合函数值，其定义为 function F = myfun(x,xdata)
resnorm=sum ((fun(x,xdata)-ydata).^2)，即在x处残差的平方和；
residual=fun(x,xdata)-ydata，即在x处的残差；
exitflag为终止迭代的条件；
output为输出的优化信息；
lambda为解x处的Lagrange乘子；
jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
一般来说，拟合复杂的函数并不是一开始就能成功的，resnorm是一个衡量拟合质量好坏的参数，所以不建议采用前四中格式。本次采用的为：[x,resnorm] = lsqcurvefit(___)

2、编写待拟合的函数
在拟合的.m文件末尾编写待拟合的函数，以下为我需要拟合的函数，其中含有6个未知参数。在拟合前，一定一定要多次检验待拟合函数的正确性。待拟合函数中出现错误，会是致命的错误。以下，是本人需要拟合的函数。

 function neff=nef_r(a,f)epxlb=a(1);    f0e=a(2);     miub=a(3);    fpm=a(4);     f0m=a(5);     gammam=a(6); epxl0=1/(36*pi*10^9);miu0=4*pi*10^-7;h=0.0003;d=0.003;k=2*pi*f*sqrt(epxl0*miu0);epxl=epxlb*(1-(f0e*10^9)^2./f.^2);miu=miub-(fpm*10^9)^2./(f.^2-(f0m*10^9)^2+1i*(gammam*10^9)*f);epxl_av=epxl*h/d;miu_av=miu*h/d;n_r=real(1./(k*d).*acos((4-(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av)./(4+(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av).*cos(k*d)-(2*(epxl_av+miu_av).*k*d)./(4+(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av).*sin(k*d)));n_i=imag(1./(k*d).*acos((4-(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av)./(4+(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av).*cos(k*d)-(2*(epxl_av+miu_av).*k*d)./(4+(k*d).^2.*epxl_av.*miu_av).*sin(k*d)));for m=1:length(f)if n_i(m)<0n_r(m)=-n_r(m);n_i(m)=-n_i(m); endendneff=n_r;end

3、设置拟合的上、下限以及初始值。
这应该是多个未知参数拟合最难的部分，也是最容易卡壳的地方。在设置拟合的上、下限和初始值时，稍有偏差，就会使拟合效果不佳，即resnorm值偏大。这一部分我们留到最后再说明如何调试出较佳的拟合效果。

    a0=[1;      35;     10;      26;      10;        0.02];%初始值lb=[0;      30;      1;      24;      8;      0];%下限ub=[2;        50;     14;     30;     20;    0.5];%上限

4、绘图
应该是最简单，但却又是很重要的部分。绘图是最直观的观测拟合效果的方法。我们将原始数据real（n）用红色实线绘图，待拟合函数用红色虚线绘图。

 plot(f/(10^9),real(n),'r');hold on;plot(f/(10^9),n_r,'r--');hold on;

5、拟合选项设置

options = optimset('Display','iter','Tolx',1e-15,'TolFun',1e-15);

其中，‘Display’为显示级别，本次显示级别为‘iter’，在每次迭代时显示输出。
‘Tolx’为关于当前点 x 的终止容差，在当前点与先前点相差小于 TolX 时（相对于 x 的大小），迭代结束。本次当前点 x 终止容差为1e-15。
TolFun’为函数值的终止容差，在当前函数值与先前值相差小于 TolFun 时（相对于初始函数值），迭代结束。本次函数值的终止容差为1e-15。

6、进行拟合

[x,renorm]=lsqcurvefit(@nef_r,a0,f',real(n),lb,ub,options)

当然，多未知参数非线性函数的拟合并不是一蹴而就的。需要不断的调试拟合的初始值、上限和下限。这会是一个漫长的过程。

接下来需要啃的硬骨头就是调试过程了:
1、首先，我们需要知道未知参数的大致量级，可以根据函数内未知参数的实际意义出发得到大概量级。
2、粗调：因为每次拟合得到的未知参数都是无法精准控制的。所以可以另写一个.m文件，提前给予未知参数一个确定的值（当然这个值是在已知每个未知参数的量级的前提下去大胆尝试）代入到待拟合函数中，对比绘画出的红色实线图形与红色虚线图形形状。如果形状大致一样，就可以进行下一步的细调；若形状不一样，继续修改猜测值，直到图形大致一致为止。

  a0=[1.87  34.14  10.12  26.35  10.09  0.0224];

3、细调：细调的工作，我们就交给lsqcurvefit函数。将初始值设置为猜测值。将上下限稍微调大一些，当然初值得在上下限之间。再逐一缩小上限限，适当修改初始值，使resnorm值越小越好。注意：唯一的目的是使resnorm值越小。当拟合函数没问题以及resnorm值足够小时，实线与虚线应该是大致重合的。

我的大致代码以及拟合效果，未知参数和resnorm值如下图：

程序设计流程图如下：

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