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树是一种比較重要的数据结构，尤其是二叉树。二叉树是一种特殊的树，在二叉树中每一个节点最多有两个子节点，一般称为左子节点和右子节点（或左孩子和右孩子），而且二叉树的子树有左右之分，其次序不能随意颠倒。二叉树是递归定义的，因此，与二叉树有关的题目基本都能够用递归思想解决，当然有些题目非递归解法也应该掌握，如非递归遍历节点等等。本文努力对二叉树相关题目做一个较全的整理总结，希望对找工作的同学有所帮助。

二叉树节点定义例如以下：
struct BinaryTreeNode
{
    int m_nValue;
    BinaryTreeNode* m_pLeft;
    BinaryTreeNode* m_pRight;
};

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题目列表：

1. 求二叉树中的节点个数
2. 求二叉树的深度
3. 前序遍历，中序遍历，后序遍历
4.分层遍历二叉树（按层次从上往下，从左往右）
5. 将二叉查找树变为有序的双向链表
6. 求二叉树第K层的节点个数
7. 求二叉树中叶子节点的个数
8. 推断两棵二叉树是否结构同样
9. 推断二叉树是不是平衡二叉树
10. 求二叉树的镜像
11. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点
12. 求二叉树中节点的最大距离
13. 由前序遍历序列和中序遍历序列重建二叉树
14.推断二叉树是不是全然二叉树

具体解答

1. 求二叉树中的节点个数
递归解法：
（1）假设二叉树为空，节点个数为0
（2）假设二叉树不为空，二叉树节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1
參考代码例如以下：

int GetNodeNum(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL) // 递归出口return 0;return GetNodeNum(pRoot->m_pLeft) + GetNodeNum(pRoot->m_pRight) + 1;
}

2. 求二叉树的深度
递归解法：
（1）假设二叉树为空，二叉树的深度为0
（2）假设二叉树不为空，二叉树的深度 = max(左子树深度， 右子树深度) + 1
參考代码例如以下：

int GetDepth(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL) // 递归出口return 0;int depthLeft = GetDepth(pRoot->m_pLeft);int depthRight = GetDepth(pRoot->m_pRight);return depthLeft > depthRight ? (depthLeft + 1) : (depthRight + 1);
}

3. 前序遍历，中序遍历，后序遍历
前序遍历递归解法：
（1）假设二叉树为空，空操作
（2）假设二叉树不为空，訪问根节点，前序遍历左子树，前序遍历右子树
參考代码例如以下：

void PreOrderTraverse(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return;Visit(pRoot); // 訪问根节点PreOrderTraverse(pRoot->m_pLeft); // 前序遍历左子树PreOrderTraverse(pRoot->m_pRight); // 前序遍历右子树
}

中序遍历递归解法
（1）假设二叉树为空，空操作。
（2）假设二叉树不为空，中序遍历左子树，訪问根节点，中序遍历右子树
參考代码例如以下：

void InOrderTraverse(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return;InOrderTraverse(pRoot->m_pLeft); // 中序遍历左子树Visit(pRoot); // 訪问根节点InOrderTraverse(pRoot->m_pRight); // 中序遍历右子树
}

后序遍历递归解法
（1）假设二叉树为空，空操作
（2）假设二叉树不为空，后序遍历左子树，后序遍历右子树，訪问根节点
參考代码例如以下：

void PostOrderTraverse(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return;PostOrderTraverse(pRoot->m_pLeft); // 后序遍历左子树PostOrderTraverse(pRoot->m_pRight); // 后序遍历右子树Visit(pRoot); // 訪问根节点
}

4.分层遍历二叉树（按层次从上往下，从左往右）

相当于广度优先搜索，使用队列实现。队列初始化，将根节点压入队列。当队列不为空，进行例如以下操作：弹出一个节点，訪问，若左子节点或右子节点不为空，将其压入队列。

void LevelTraverse(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return;queue<BinaryTreeNode *> q;q.push(pRoot);while(!q.empty()){BinaryTreeNode * pNode = q.front();q.pop();Visit(pNode); // 訪问节点if(pNode->m_pLeft != NULL)q.push(pNode->m_pLeft);if(pNode->m_pRight != NULL)q.push(pNode->m_pRight);}return;
}

5. 将二叉查找树变为有序的双向链表 要求不能创建新节点，仅仅调整指针。
递归解法：
（1）假设二叉树查找树为空，不须要转换，相应双向链表的第一个节点是NULL，最后一个节点是NULL
（2）假设二叉查找树不为空：

假设左子树为空，相应双向有序链表的第一个节点是根节点，左边不须要其它操作；

假设左子树不为空，转换左子树，二叉查找树相应双向有序链表的第一个节点就是左子树转换后双向有序链表的第一个节点，同一时候将根节点和左子树转换后的双向有序链表的最后一个节点连接；

假设右子树为空，相应双向有序链表的最后一个节点是根节点，右边不须要其它操作；

假设右子树不为空，相应双向有序链表的最后一个节点就是右子树转换后双向有序链表的最后一个节点，同一时候将根节点和右子树转换后的双向有序链表的第一个节点连接。

參考代码例如以下：

/******************************************************************************
參数：
pRoot: 二叉查找树根节点指针
pFirstNode: 转换后双向有序链表的第一个节点指针
pLastNode: 转换后双向有序链表的最后一个节点指针
******************************************************************************/
void Convert(BinaryTreeNode * pRoot, BinaryTreeNode * & pFirstNode, BinaryTreeNode * & pLastNode)
{BinaryTreeNode *pFirstLeft, *pLastLeft, * pFirstRight, *pLastRight;if(pRoot == NULL) {pFirstNode = NULL;pLastNode = NULL;return;}if(pRoot->m_pLeft == NULL){// 假设左子树为空，相应双向有序链表的第一个节点是根节点pFirstNode = pRoot;}else{Convert(pRoot->m_pLeft, pFirstLeft, pLastLeft);// 二叉查找树相应双向有序链表的第一个节点就是左子树转换后双向有序链表的第一个节点pFirstNode = pFirstLeft;// 将根节点和左子树转换后的双向有序链表的最后一个节点连接pRoot->m_pLeft = pLastLeft;pLastLeft->m_pRight = pRoot;}if(pRoot->m_pRight == NULL){// 相应双向有序链表的最后一个节点是根节点pLastNode = pRoot;}else{Convert(pRoot->m_pRight, pFirstRight, pLastRight);// 相应双向有序链表的最后一个节点就是右子树转换后双向有序链表的最后一个节点pLastNode = pLastRight;// 将根节点和右子树转换后的双向有序链表的第一个节点连接pRoot->m_pRight = pFirstRight;pFirstRight->m_pLeft = pRoot;}return;
}

6. 求二叉树第K层的节点个数
递归解法：
（1）假设二叉树为空或者k<1返回0
（2）假设二叉树不为空而且k==1，返回1
（3）假设二叉树不为空且k>1，返回左子树中k-1层的节点个数与右子树k-1层节点个数之和
參考代码例如以下：

int GetNodeNumKthLevel(BinaryTreeNode * pRoot, int k)
{if(pRoot == NULL || k < 1)return 0;if(k == 1)return 1;int numLeft = GetNodeNumKthLevel(pRoot->m_pLeft, k-1); // 左子树中k-1层的节点个数int numRight = GetNodeNumKthLevel(pRoot->m_pRight, k-1); // 右子树中k-1层的节点个数return (numLeft + numRight);
}

7. 求二叉树中叶子节点的个数
递归解法：
（1）假设二叉树为空，返回0
（2）假设二叉树不为空且左右子树为空，返回1
（3）假设二叉树不为空，且左右子树不同一时候为空，返回左子树中叶子节点个数加上右子树中叶子节点个数
參考代码例如以下：

int GetLeafNodeNum(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return 0;if(pRoot->m_pLeft == NULL && pRoot->m_pRight == NULL)return 1;int numLeft = GetLeafNodeNum(pRoot->m_pLeft); // 左子树中叶节点的个数int numRight = GetLeafNodeNum(pRoot->m_pRight); // 右子树中叶节点的个数return (numLeft + numRight);
}

8. 推断两棵二叉树是否结构同样
不考虑数据内容。结构相允许味着相应的左子树和相应的右子树都结构同样。
递归解法：
（1）假设两棵二叉树都为空，返回真
（2）假设两棵二叉树一棵为空，还有一棵不为空，返回假
（3）假设两棵二叉树都不为空，假设相应的左子树和右子树都同构返回真，其它返回假
參考代码例如以下：

bool StructureCmp(BinaryTreeNode * pRoot1, BinaryTreeNode * pRoot2)
{if(pRoot1 == NULL && pRoot2 == NULL) // 都为空，返回真return true;else if(pRoot1 == NULL || pRoot2 == NULL) // 有一个为空，一个不为空，返回假return false;bool resultLeft = StructureCmp(pRoot1->m_pLeft, pRoot2->m_pLeft); // 比較相应左子树 bool resultRight = StructureCmp(pRoot1->m_pRight, pRoot2->m_pRight); // 比較相应右子树return (resultLeft && resultRight);
} 

9. 推断二叉树是不是平衡二叉树
递归解法：
（1）假设二叉树为空，返回真
（2）假设二叉树不为空，假设左子树和右子树都是AVL树而且左子树和右子树高度相差不大于1，返回真，其它返回假
參考代码：

bool IsAVL(BinaryTreeNode * pRoot, int & height)
{if(pRoot == NULL) // 空树，返回真{height = 0;return true;}int heightLeft;bool resultLeft = IsAVL(pRoot->m_pLeft, heightLeft);int heightRight;bool resultRight = IsAVL(pRoot->m_pRight, heightRight);if(resultLeft && resultRight && abs(heightLeft - heightRight) <= 1) // 左子树和右子树都是AVL，而且高度相差不大于1，返回真{height = max(heightLeft, heightRight) + 1;return true;}else{height = max(heightLeft, heightRight) + 1;return false;}
}

10. 求二叉树的镜像
递归解法：
（1）假设二叉树为空，返回空
（2）假设二叉树不为空，求左子树和右子树的镜像，然后交换左子树和右子树
參考代码例如以下：

BinaryTreeNode * Mirror(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL) // 返回NULLreturn NULL;BinaryTreeNode * pLeft = Mirror(pRoot->m_pLeft); // 求左子树镜像BinaryTreeNode * pRight = Mirror(pRoot->m_pRight); // 求右子树镜像// 交换左子树和右子树pRoot->m_pLeft = pRight;pRoot->m_pRight = pLeft;return pRoot;
}

11. 求二叉树中两个节点的最低公共祖先节点
递归解法：
（1）假设两个节点分别在根节点的左子树和右子树，则返回根节点
（2）假设两个节点都在左子树，则递归处理左子树；假设两个节点都在右子树，则递归处理右子树
參考代码例如以下：

bool FindNode(BinaryTreeNode * pRoot, BinaryTreeNode * pNode)
{if(pRoot == NULL || pNode == NULL)return false;if(pRoot == pNode)return true;bool found = FindNode(pRoot->m_pLeft, pNode);if(!found)found = FindNode(pRoot->m_pRight, pNode);return found;
}BinaryTreeNode * GetLastCommonParent(BinaryTreeNode * pRoot, BinaryTreeNode * pNode1, BinaryTreeNode * pNode2)
{if(FindNode(pRoot->m_pLeft, pNode1)){if(FindNode(pRoot->m_pRight, pNode2))return pRoot;elsereturn GetLastCommonParent(pRoot->m_pLeft, pNode1, pNode2);}else{if(FindNode(pRoot->m_pLeft, pNode2))return pRoot;elsereturn GetLastCommonParent(pRoot->m_pRight, pNode1, pNode2);}
}

递归解法效率非常低，有非常多反复的遍历，以下看一下非递归解法。
非递归解法：
先求从根节点到两个节点的路径，然后再比較相应路径的节点即可，最后一个同样的节点也就是他们在二叉树中的最低公共祖先节点
參考代码例如以下：

bool GetNodePath(BinaryTreeNode * pRoot, BinaryTreeNode * pNode, list<BinaryTreeNode *> & path)
{if(pRoot == pNode){  path.push_back(pRoot);return true;}if(pRoot == NULL)return false;path.push_back(pRoot);bool found = false;found = GetNodePath(pRoot->m_pLeft, pNode, path);if(!found)found = GetNodePath(pRoot->m_pRight, pNode, path);if(!found)path.pop_back();return found;
}
BinaryTreeNode * GetLastCommonParent(BinaryTreeNode * pRoot, BinaryTreeNode * pNode1, BinaryTreeNode * pNode2)
{if(pRoot == NULL || pNode1 == NULL || pNode2 == NULL)return NULL;list<BinaryTreeNode*> path1;bool bResult1 = GetNodePath(pRoot, pNode1, path1);list<BinaryTreeNode*> path2;bool bResult2 = GetNodePath(pRoot, pNode2, path2);if(!bResult1 || !bResult2) return NULL;BinaryTreeNode * pLast = NULL;list<BinaryTreeNode*>::const_iterator iter1 = path1.begin();list<BinaryTreeNode*>::const_iterator iter2 = path2.begin();while(iter1 != path1.end() && iter2 != path2.end()){if(*iter1 == *iter2)pLast = *iter1;elsebreak;iter1++;iter2++;}return pLast;
}

在上述算法的基础上稍加变化就可以求二叉树中随意两个节点的距离了。
12. 求二叉树中节点的最大距离
即二叉树中相距最远的两个节点之间的距离。
递归解法：
（1）假设二叉树为空，返回0，同一时候记录左子树和右子树的深度，都为0
（2）假设二叉树不为空，最大距离要么是左子树中的最大距离，要么是右子树中的最大距离，要么是左子树节点中到根节点的最大距离+右子树节点中到根节点的最大距离，同一时候记录左子树和右子树节点中到根节点的最大距离。

參考代码例如以下：

int GetMaxDistance(BinaryTreeNode * pRoot, int & maxLeft, int & maxRight)
{// maxLeft, 左子树中的节点距离根节点的最远距离// maxRight, 右子树中的节点距离根节点的最远距离if(pRoot == NULL){maxLeft = 0;maxRight = 0;return 0;}int maxLL, maxLR, maxRL, maxRR;int maxDistLeft, maxDistRight;if(pRoot->m_pLeft != NULL){maxDistLeft = GetMaxDistance(pRoot->m_pLeft, maxLL, maxLR);maxLeft = max(maxLL, maxLR) + 1;}else{maxDistLeft = 0;maxLeft = 0;}if(pRoot->m_pRight != NULL){maxDistRight = GetMaxDistance(pRoot->m_pRight, maxRL, maxRR);maxRight = max(maxRL, maxRR) + 1;}else{maxDistRight = 0;maxRight = 0;}return max(max(maxDistLeft, maxDistRight), maxLeft+maxRight);
}

13. 由前序遍历序列和中序遍历序列重建二叉树
二叉树前序遍历序列中，第一个元素总是树的根节点的值。中序遍历序列中，左子树的节点的值位于根节点的值的左边，右子树的节点的值位
于根节点的值的右边。
递归解法：
（1）假设前序遍历为空或中序遍历为空或节点个数小于等于0，返回NULL。
（2）创建根节点。前序遍历的第一个数据就是根节点的数据，在中序遍历中找到根节点的位置，可分别得知左子树和右子树的前序和中序遍
历序列，重建左右子树。

BinaryTreeNode * RebuildBinaryTree(int* pPreOrder, int* pInOrder, int nodeNum)
{if(pPreOrder == NULL || pInOrder == NULL || nodeNum <= 0)return NULL;BinaryTreeNode * pRoot = new BinaryTreeNode;// 前序遍历的第一个数据就是根节点数据pRoot->m_nValue = pPreOrder[0];pRoot->m_pLeft = NULL;pRoot->m_pRight = NULL;// 查找根节点在中序遍历中的位置，中序遍历中，根节点左边为左子树，右边为右子树int rootPositionInOrder = -1;for(int i = 0; i < nodeNum; i++)if(pInOrder[i] == pRoot->m_nValue){rootPositionInOrder = i;break;}if(rootPositionInOrder == -1){throw std::exception("Invalid input.");}// 重建左子树int nodeNumLeft = rootPositionInOrder;int * pPreOrderLeft = pPreOrder + 1;int * pInOrderLeft = pInOrder;pRoot->m_pLeft = RebuildBinaryTree(pPreOrderLeft, pInOrderLeft, nodeNumLeft);// 重建右子树int nodeNumRight = nodeNum - nodeNumLeft - 1;int * pPreOrderRight = pPreOrder + 1 + nodeNumLeft;int * pInOrderRight = pInOrder + nodeNumLeft + 1;pRoot->m_pRight = RebuildBinaryTree(pPreOrderRight, pInOrderRight, nodeNumRight);return pRoot;
}

相同，有中序遍历序列和后序遍历序列，类似的方法可重建二叉树，但前序遍历序列和后序遍历序列不同恢复一棵二叉树，证明略。
14.推断二叉树是不是全然二叉树
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其他各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层全部的结点都连续集中在最左边，这就是全然
二叉树。
有例如以下算法，按层次（从上到下，从左到右）遍历二叉树，当遇到一个节点的左子树为空时，则该节点右子树必须为空，且后面遍历的节点左
右子树都必须为空，否则不是全然二叉树。

bool IsCompleteBinaryTree(BinaryTreeNode * pRoot)
{if(pRoot == NULL)return false;queue<BinaryTreeNode *> q;q.push(pRoot);bool mustHaveNoChild = false;bool result = true;while(!q.empty()){BinaryTreeNode * pNode = q.front();q.pop();if(mustHaveNoChild) // 已经出现了有空子树的节点了，后面出现的必须为叶节点（左右子树都为空）{if(pNode->m_pLeft != NULL || pNode->m_pRight != NULL){result = false;break;}}else{if(pNode->m_pLeft != NULL && pNode->m_pRight != NULL){q.push(pNode->m_pLeft);q.push(pNode->m_pRight);}else if(pNode->m_pLeft != NULL && pNode->m_pRight == NULL){mustHaveNoChild = true;q.push(pNode->m_pLeft);}else if(pNode->m_pLeft == NULL && pNode->m_pRight != NULL){result = false;break;}else{mustHaveNoChild = true;}}}return result;
}