前面我们已经讲到了数组和链表，数组能通过下标 O(1) 访问，但是删除一个中间元素却要移动其他元素，时间 O(n)。 循环双端链表倒是可以在知道一个节点的情况下迅速删除它，但是吧查找又成了 O(n)。

难道就没有一种方法可以快速定位和删除元素吗？似乎想要快速找到一个元素除了知道下标之外别无他法，于是乎聪明的计算机科学家又想到了一种方法。 能不能给每个元素一种『逻辑下标』，然后直接找到它呢，哈希表就是这种实现。它通过一个哈希函数来计算一个元素应该放在数组哪个位置，当然对于一个 特定的元素，哈希函数每次计算的下标必须要一样才可以，而且范围不能超过给定的数组长度。

我们还是以书中的例子说明，假如我们有一个数组 T，包含 M=13 个元素，我们可以定义一个简单的哈希函数 h

h(key) = key % M

这里取模运算使得 h(key) 的结果不会超过数组的长度下标。我们来分别插入以下元素：

765, 431, 96, 142, 579, 226, 903, 388

先来计算下它们应用哈希函数后的结果:

​

下边我画个图演示整个插入过程(纯手工绘制，原谅我字写得不太优雅):

​

哈希冲突 (collision)

这里到插入 226 这个元素的时候，不幸地发现 h(226) = h(96) = 5，不同的 key 通过我们的哈希函数计算后得到的下标一样， 这种情况成为哈希冲突。怎么办呢？聪明的计算机科学家又想到了办法，其实一种直观的想法是如果冲突了我能不能让数组中 对应的槽变成一个链式结构呢？这就是其中一种解决方法，叫做 链接法(chaining)。如果我们用链接法来处理冲突，后边的插入是这样的：

​

这样就用链表解决了冲突问题，但是如果哈希函数选不好的话，可能就导致冲突太多一个链变得太长，这样查找就不再是 O(1) 的了。 还有一种叫做开放寻址法(open addressing)，它的基本思想是当一个槽被占用的时候，采用一种方式来寻找下一个可用的槽。 （这里槽指的是数组中的一个位置），根据找下一个槽的方式不同，分为：

• 线性探查(linear probing): 当一个槽被占用，找下一个可用的槽。h(k,i)=(h′(k)+i)%m,i=0,1,...,m−1h(k,i)=(h′(k)+i)%m,i=0,1,...,m−1
• 二次探查(quadratic probing): 当一个槽被占用，以二次方作为偏移量。 h(k,i)=(h′(k)+c1+c2i2)%m,i=0,1,...,m−1h(k,i)=(h′(k)+c1+c2i2)%m,i=0,1,...,m−1
• 双重散列(double hashing): 重新计算 hash 结果。 h(k,i)=(h1(k)+ih2(k))%mh(k,i)=(h1(k)+ih2(k))%m

我们选一个简单的二次探查函数 h(k,i)=(home+i2)%mh(k,i)=(home+i2)%m，它的意思是如果 遇到了冲突，我们就在原始计算的位置不断加上 i 的平方。我写了段代码来模拟整个计算下标的过程：

​
这段代码输出的结果如下：

​
遇到冲突之后会重新计算，每个待插入元素最终的下标就是：

​

Cpython 如何解决哈希冲突

如不同 cpython 版本实现的探查方式是不同的，后边我们自己实现 HashTable ADT 的时候会模仿这个探查方式来解决冲突。

​

哈希函数

到这里你应该明白哈希表插入的工作原理了，不过有个重要的问题之前没提到，就是 hash 函数怎么选？ 当然是散列得到的冲突越来越小就好啦，也就是说每个 key 都能尽量被等可能地散列到 m 个槽中的任何一个，并且与其他 key 被散列到哪个槽位无关。 如果你感兴趣，可以阅读后边提到的一些参考资料。视频里我们使用二次探查函数，它相比线性探查得到的结果冲突会更少。

装载因子(load factor)

如果继续往我们的哈希表里塞东西会发生什么？空间不够用。这里我们定义一个负载因子的概念(load factor)，其实很简单，就是已经使用的槽数比哈希表大小。 比如我们上边的例子插入了 8 个元素，哈希表总大小是 13， 它的 load factor 就是 8/13≈0.628/13≈0.62。当我们继续往哈希表插入数据的时候，很快就不够用了。 通常当负载因子开始超过 0.8 的时候，就要新开辟空间并且重新进行散列了。

重哈希(Rehashing)

当负载因子超过 0.8 的时候，需要进行 rehashing 操作了。步骤就是重新开辟一块新的空间，开多大呢？感兴趣的话可以看下 cpython 的 dictobject.c 文件然后搜索 GROWTH_RATE 这个关键字，你会发现不同版本的 cpython 使用了不同的策略。python3.3 的策略是扩大为已经使用的槽数目的两倍。开辟了新空间以后，会把原来哈希表里 不为空槽的数据重新插入到新的哈希表里，插入方式和之前一样。这就是 rehashing 操作。

HashTable ADT

实践是检验真理的唯一标准，这里我们来实现一个简化版的哈希表 ADT，主要是为了让你更好地了解它的工作原理，有了它，后边实现起 dict 和 set 来就小菜一碟了。 这里我们使用到了定长数组，还记得我们在数组和列表章节里实现的 Array 吧，这里要用上了。

解决冲突我们使用二次探查法，模拟 cpython 二次探查函数的实现。我们来实现三个哈希表最常用的基本操作，这实际上也是使用字典的时候最常用的操作。

• add(key, value)
• get(key, default)
• remove(key)

​
具体的实现和代码编写在视频里讲解。这个代码可不太好实现，稍不留神就会有错，我们还是通过编写单元测试验证代码的正确性。公众号：学习py最风sao的方式欢迎大家继续关注！