常见算法及问题场景—

最短路径

现实场景

1、一批货从北京到广州的的最快，或最省钱的走法。
把路线中各城市当作图的顶点，各城市之间的花费时间，或金钱当作边的权重，求两点之间的最短路径。
2、在城市群中建一个仓储基地，建在什么位置可以让各个城市的送货速度都比较快。
同1，把各城市间的送货速度当作边的权重，求仓储基地到各城市间的最短路径。

算法

1、Dijkstra，单源最短路径。
2、Floyd，两点最短路径。
参考链接：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

社区发现

现实场景

用于社交网络中的社区（或话题）发现，基本特点是，社区之间联系稀疏，社区内部联系紧密。如，给定新浪微博的用户关系数据，找出其中的的社区，以及核心节点。

算法

标签传播、主要特征向量、多层模块度、随机游走、边介数等几个系列算法。

各算法的优劣，有一个评价体系，即计算其 Modularity Measure(模块化度量值）。
具体的算法介绍，及Modularity Measure值计算，可以参考这里：http://blog.csdn.net/itplus/article/details/9286905
关于Fast Unfolding更详细的介绍，可以参考这里：http://blog.csdn.net/google19890102/article/details/48660239

网络评价

现实场景

现实中存在各种的网络：社区聚集、好友关系、电力网、交通网等，网络特点各不相同，计算机科学上，把这些现实网络划分为随机网络、小世界网络、规则网络、无标度网络等多种抽象的网络模型，用网络模型去解释现实网络。并定义了一套可量化的标准特征来描述各种网络模型。

概念

1、平均路径长度。路径长度，是指网络中任意两节点之间的最短路径。平均路径长度是指所有节点之间的平均最短距离。
2、网络直径。网络中所有节点之间的最大路径长度。
3、度分布。度，是指网络结构中与某节点相连接的边的数目为该节点的度。社交网络中度数较多的节点通常是公众人物。
网络中各个的节点度的分布情况就为度分布，如泊松分布、二项分布等。
4、介数。节点的介数，指经过该节点的最短路径占整个网络所有最短路径的比例。如，社交网络中的某些关键人物。
5、接近中心度。一个节点通过最短路径到达其它节点的难易程度。对于网络中的边缘节点，其接近中心度会比较小。如，偏远城市，社交网络中的非主流人物。
6、Clustering coefficient（聚集系数）。主要衡量一个节点的邻节点之间的连接情况，邻节点之间连接越多，聚集系数越大。
7、网络密度。网络中节点固定情况下，边数量越多，则密度越大，即节点之间联系更紧密。
8、互惠指数。即有向网络中的无向程度。

K-Core

现实场景

社交网络中，有一批KOL存在，他们的影响力远超普通大众。

算法

关于K-Core的详细解释，及其算法实现，可以参考这里：网络节点度、H指数与核数之间的优美关系（http://blog.sciencenet.cn/blog-3075-950475.html）

二分图匹配

现实场景

1、通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感，请为他们两两配对，最大程度减少剩男剩女个数。
2、有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？

算法

1、匈牙利算法
2、任务分配问题一般可以在多项式时间内转化成最大流量问题（Maximum Flow Problem）

匈牙利算法参考文章：http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

二分图匹配问题转最大流问题的方法可参考这里：
http://blog.csdn.net/caipeichao2/article/details/35306659

最小费用、最大流

现实场景

1、从城市A到城市B之间运输一批货物，中间路过多个城市，有多条路线可供选择，两两城市之间的运输费用不等，找出一条费用最小的路线。
2、把一批快递经由铁路由城市A运到城市B，中间路过多个城市。在做任意两个城市间的铁路线上可运送的物资数量是有限的，我们要考虑使铁路线承载量最大，不让铁路资源闲置，同时让快递运输时经过更多的城市，以承揽更多快递业务。如果把铁路网上的车站看作是图的顶点，两个车站间的铁路线看作是图的边，把任意两城市间的铁路线上的允许最大运送量称为容量。这就是一个经典的求网络最大流问题。

概念

1、边权重的意义。不同场景下，每条边的值有不同的意义，问题1中，边的权重为费用，问题2中，边的权重为剩余容量。
2、增广路径。在图中，可能存在多条从源点到目标点的可行路径，每一条都是一条增广路径。最小费用、最大流问题就是找到多条增广路径中满足最小费用、最大流条件的一条。

算法

1、最小费用问题可转化为求最短路径问题。
2、Edmond-Karp算法。
可参考文档：http://www.cnblogs.com/zsboy/archive/2013/01/27/2878810.html
3、Ford-Fulkerson算法。
可参考文档：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2011/07/26/2117636.html

最大连通子图

现实场景

1、计算机网络中的病毒通常会基于一种病毒存在多种变种病毒，变种病毒与原病毒之间大部分代码相似。因此，把两种病毒之间的函数调用关系用图表示出来，分析其最大连通子图是否相似，就可以判断是否变种病毒。
2、图像分割中，寻找图像的最大连通域。

概念

最大连通子图。是指把图划分为N个子图后，子图内所有节点相连，子图间没有节点相连。这N个子图就是原图的最大连通子图。

欧拉回路

现实场景

1、七桥问题。
2、去北京动物园浏览，能否设计一条这样的路线：既可以游遍所有景点，又不走重复路。

概念

1、欧拉回路。是指，通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路(回路)称为欧拉通路(回路)。
2、满足特定条件的图才能称为欧拉图。

算法

Fleury算法

哈密顿回路

现实场景

导游带团北京一日游遍，需要设计一条路线，可以走遍所有景点，且只走一次。

概念

1、哈密顿回路。在一个图中，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。
2、哈密顿回路并不一定存在。
3、属NP完全问题，难以在有效时间内找到解决方案。

最小生成树

现实场景

1、在电路设计中，常常需要把一些电子元件的插脚用电线连接起来。如果每根电线连接两个插脚，把所有n个插脚连接起来，只要用n-1根电线就可以了。在所有的连接方案中，我们通常对电线总长度最小的连接方案感兴趣。
2、要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，找出一条使用最短的光纤连通这些城市的铺设方法。

算法

1、Prim算法
2、Kruskal算法

拓扑排序

现实场景

1、一个大工程，通常由多个任务组成，这些子工程之间有的有依赖关系，有的没有，假设同时只能做一个任务，请排出一个顺序来。
2、一个计算机专业的学生必须完成一系列课程才能毕业。如学习《数据结构》课程就必须安排在学完它的两门先修课程《离散数学》和《算法语言》之后。学习《高等数学》课程则可以随时安排，因为它是基础课程，没有先修课。

概念

1、有向无环图（DAG）。
2、AOV表示法。图的节点表示任务，有向边表示先后顺序，最终形成的是一个有向无环图，才能进行拓扑排序。

算法

1、Kahn算法
2、DFS

关键路径

现实场景

一个工程如何优化任务的安排，才能最大程度缩短工期？

概念

1、在拓扑排序之后，才能进行关键路径的优化。
2、AOE表示法。用图的节点表示任务，有向边表示任务的先后顺序，边的权重表示任务所花时间。
3、找到两个关键点进行优化：完成整项工程至少需要多少时间？哪些活动是影响工程进度的关键？