1、背景和问题

据统计超过80%的用户靠搜索引擎获取信息
网站排名是网络搜索引擎的核心
目前Google数据库存储上百亿网页信息, 每天提供查询服务达到3亿多次

2、google查询过程示意图

3、Google搜索的核心算法

PageRank是 Google 用于评价一个网页的重要性的一种方法. 通过该方法, Google 将各个网站进行排名. 用户进行相关搜索时, Google 会将符合条件的网站按排名顺序输出.
PageRank 算法中使用的数学知识包括：正矩阵性质、特征值和特征向量、幂迭代算法、Gauss-Seidel迭代算法等.
PageRank 得分是介于 0 和 1 之间的一个数,得分越大表示网页越重要.

4、PageRank算法思想简介

1）、 PageRank基于假设关系

“许多优质的网页中超链接的网页，必定是优质网页”，以此判定所有网页的重要性。

重要性由该网页被访问的概率大小来刻画。

导入链接：单纯意义上的受欢迎度指标
导入链接是否来自受欢迎程度高的：有根据的受欢迎指标
导入链接源页面的导出链接：被选中的概率指标

2）、PageRank 是基于这样一个理论：

若 B 网页上有连接到 A 网页的链接( 称 B 为 A 的导入链接 ), 说明 B 认为 A 有链接价值，是一个“重要”的网页. 当 B 网页级别 ( 重要性 ) 比较高时, 则A 网页可从 B 网页这个导入链接分得一定的级别 ( 重要性 ), 并平均分配给 A 网页上的所有导出链接.（导出链接就是网站或者页面中有指向别的网站的链接）
在PageRank算法中, 一个网页的级别(重要性)大致由下面两个因素决定：该网页的导入链接的数量和这些导入链接的级别(重要性).

5、PageRank计算

1）、邻接矩阵

互联网是一个有向图
每一个网页是图的一个顶点
网页间的每一个超链接是图的一个有向边
用邻接矩阵G来表示有向图, 即，若网页j到网页i有超链接, 则g_ij=1, 否则为g_ij=0.

邻接矩阵是一个十分庞大有相当稀疏的方阵(用黑色代表1, 用白色代表0)

用邻接矩阵G来表示图, 即，若网页j到网页i有超链接, 则g_ij=1, 否则为g_ij=0.
定义矩阵G的列和与行和

其中 c_j（列和）是页面j的导出链接数目,

r_i（行和）是页面 i 的导入链接数目.

2）、转移概率矩阵

假设我们在上网的时候浏览页面并选择下一个页面, 这个过程与过去浏览过哪些页面无关, 而仅依赖于当前所在的页面, 那么这一选择过程可以认为是一个有限状态、离散时间的随机过程, 其状态转移规律可用Markov链描述.
定义转移概率矩阵

3）、85%与15%

但还要考虑到用户虽然在许多场合都顺着当前页面中的链接前进, 但时常又会跳跃到完全无关的页面.
经过统计, Google采用个15%来表示[时常], 即用户在85%的情况下沿着链接前进, 但有15%的情况下突然跳跃到无关的页面中去.
从而修正状态转移矩阵

4）、网页的最终PageRank值.

根据Markov链的基本性质,以上A' 是一个正则Markov链, 存在平稳分布x= (x₁,x₂,x₃, ...,x_m),满足

x表示在极限状态(转移次数趋于无限)下各网页被访问的概率分布.
x定义为网页的PageRank向量, x_i表示第 i 个网页的PageRank值. 显然概率越大, 其重要性越高是合理的.
分量 x 应满足方程

从另一角度看, 网页 j 将它的PageRank值x_j 分成c_j份, 分别“投票”给它链出的网页.
网页k 的PageRank值 x_k就是所有页面投票给网页k的最终值.

5）、解的讨论

由Markov性质, A' 的最大特征值是1, 即求特征值1对应的特征向量.

问：上述方程组的解是否唯一解？解是否有意义(即不会出现负数或大于1的数)？

答：上述方程组的解唯一且分量都大于0！

理由：Perron-Frobnius 定理.

6、Perron-Frobnius 定理

1）、如果 A 是正的方阵(所有元素均大于0), 则

A 的谱半径 r(A)>0，其中l₁,l₂, ... ,l_n 为A 的特征值。

l =r (A) 是A 的特征值, 且代数重数为 1, 即为单特征值。

存在唯一的 x >0, 满足 A x = x, 且

若l 是A 的特征值, 且l ¹r (A), 则|l| <r(A) .

2）、l = 1 是 A 的特征值(Ax=x)的简单证明

7、网页排名举例

例：用PageRank 算法计算下面的小型网络中各网页的排名, 其中取 p=0.85.

解得

x = (0.2675, 0.2524, 0.1323, 0.1698, 0.0625, 0.1156)^T

网页1的重要性最高, 虽然2的导入链接数只有1, 但却是网页1唯一的外链, 所以其重要性也显著提高！
网页3虽是网页2的外链, 但只能得到网页2一半的分数.

事实上, 问题还不是这么简单！

Google要面对上百亿的网页, 计算量特别大,
尤其计算特征值Ax=x对计算能力要求特别高，需要关注计算的复杂度，这里用到许多数值计算工具。
此外还要讨论网页的索引、查询等方法。

参考资料：google查询搜索图示过程

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