n个不同元素进栈，求出栈元素不同排列的个数

n个不同元素进栈，求出栈元素不同排列的个数？

假设f(n)f(n)f(n)为nnn个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数。定义f(0)=1f(0)=1f(0)=1
那f(1)f(1)f(1)表示只有111个元素进栈，假设元素时aaa，那么出栈元素的顺序只能是(a)(a)(a)
所以f(1)=1f(1)=1f(1)=1
当n=2n=2n=2时，假设元素为a,ba,ba,b，那么出栈元素的顺序为(ab),(ba)(ab),(ba)(ab),(ba)两种
所以f(2)=2f(2)=2f(2)=2

当n=3n=3n=3时，假设元素为a,b,ca,b,ca,b,c。
①当aaa元素为排列中第一个元素时，因为aaa是第一个入栈的，所以肯定是入栈后马上出栈，此时栈为空了，还剩b,cb,cb,c两个元素所以排列的个数为f(2)f(2)f(2)
②当aaa元素为排列中第二个元素时，我们无视aaa元素，把aaa元素当做不存在，因为aaa是第一个入栈的，那么在aaa入栈和出栈之间正好是一个完整的栈操作（即由一开始的空栈经过一系列入栈出栈操作后成为空栈）,我们把排列分成两段aaa出栈前和aaa出栈后，那么aaa出栈前的排列个数为f(1)f(1)f(1)，aaa出栈后又是一个完整的入栈操作，排列个数为f(1)f(1)f(1)，所以总的个数为f(1)×f(1)f(1) \times f(1)f(1)×f(1)
③当aaa元素为排列中第三个元素时，那么aaa入栈出栈之间排列个数为f(2)f(2)f(2)，因为总共只有三个操作，aaa出栈即结束
那么f(3)=f(2)+f(1)×f(1)+f(2)=5f(3)=f(2)+f(1) \times f(1)+f(2)=5f(3)=f(2)+f(1)×f(1)+f(2)=5

当n=4n=4n=4时我们模仿上述操作得出
f(4)=f(3)+f(2)×f(1)+f(1)×f(2)+f(3)=14f(4)=f(3)+f(2) \times f(1) +f(1) \times f(2) +f(3) =14f(4)=f(3)+f(2)×f(1)+f(1)×f(2)+f(3)=14
是不是发现了一些规律，我们把他配的整齐一点
f(4)=f(0)×f(3)+f(2)×f(1)+f(1)×f(2)+f(3)×f(0)f(4)=f(0) \times f(3)+f(2) \times f(1) +f(1) \times f(2) +f(3) \times f(0)f(4)=f(0)×f(3)+f(2)×f(1)+f(1)×f(2)+f(3)×f(0)

我们推广到nnn
f(n)=f(0)×f(n−1)+f(1)×f(n−2)+...+f(n−1)×f(0)f(n)=f(0) \times f(n-1) +f(1) \times f(n-2) + ... +f(n-1) \times f(0)f(n)=f(0)×f(n−1)+f(1)×f(n−2)+...+f(n−1)×f(0)
所以f(n)f(n)f(n)即为卡特兰数，根据卡特兰数的性质可推导出
f(n)=1n+1C2nn\mathrm{f}(\mathrm{n})=\frac{1}{\mathrm{n}+1} C_{2 n}^{n} f(n)=n+11C2nn
具体过程可以参考这篇博文【知识总结】卡特兰数 (Catalan Number) 公式的推导

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