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固定收益债券的基本特征和种类
固定收益债券定价
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零息债券定价
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债券的到期收益率
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债券的赎回收益率
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固定收益债券的基本特征和种类

按照利率可以将债券分为以下几类

零息债券：在债券存续期内不支付利息的债券，该债券以低于面值的价格发行，到期日按照面值偿还本金.
固定利率债券：票面利率固定的债券
浮动利率债券：票面利率不固定，随着锚定参考利率而浮动的债券
累息债券：当期不支付利息，而将应付利息推迟到到期日和本金一起支付的债券
递增债券：在规定时期内单次或者多次增加票面利率，前者为单次递增债券，后者为多次递增债券
推迟利息债券：推迟最初利息支付至规定期限，然后按照一般债券的利息支付方式进行支付债券

固定收益债券定价

固定收益债券价格是由未来预期现金流决定的，因此使用多期复利现值对其进行定价
P=∑t=1TCt(1+r)tP=\sum_{t=1}^T\frac{C_t}{(1+r)^t} P=t=1∑T(1+r)tCt

案例

面值100100100元，票面利率为10%10\%10%，市场年利率为9%9\%9%，期限333年，每年支付一次利息的债券，计算价格

解析

根据利息和本金的折现计算
P=101+9%+10(1+9%)2+110(1+9%)2P=\frac{10}{1+9\%}+\frac{10}{(1+9\%)^2}+\frac{110}{(1+9\%)^2} P=1+9%10+(1+9%)210+(1+9%)2110

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;double bond_price(const vector<double> &cflows, const double &capital, const double &r){double ans=0.00;for(int i=0; i<cflows.size(); ++i){double v=cflows[i];if(i==cflows.size()-1) v+=capital;ans+=v/pow(1+r, i+1);}return ans;
}int main(){vector<double> cflows; // 利息流double r=0.09; // 贴现率double capital = 100; // 本金double interest=0.1; // 息票利率for(int i=1; i<=3; ++i) cflows.push_back(interest*capital);cout<<bond_price(cflows, capital, r)<<endl;return 0;
}

零息债券定价

零息债券在存续期内不支付利息，定价公式为
P=M(1+r)TP=\frac{M}{(1+r)^T} P=(1+r)TM

案例

期限为8年，面值为100010001000，市场利率为8%8\%8%，每半年付息一次的零息债券的价格

解析

使用零息债券计算公式得到
P=1000(1+4%)16P=\frac{1000}{(1+4\%)^{16}} P=(1+4%)161000

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;double z_bond_price(const double &capital, const double &r, const int tm, const int years){return capital/pow(1+r/tm, years*tm);
}int main(){double r=0.08;double capital = 1000;int tm=2;int years=8;cout<<z_bond_price(capital, r, tm, years)<<endl;return 0;
}

债券的到期收益率

债券的到期收益率(YTM)是指使得债券未来现金流现值等于债券市场价格的贴现率，YTM不仅考虑当前的利息收入，还考虑了投资者通过利息收入，而且还考虑了投资者通过持有债券到期实现的资本利得或者损失.
YTM的计算公式如下
P=∑t=1TCt(1+y)tP=\sum_{t=1}^T\frac{C_t}{(1+y)^t} P=t=1∑T(1+y)tCt
从方程可以看出yyy的解析式无法得到，因此需要进行试错求解，可以使用二分法将计算复杂度优化到O(mlog⁡n)\mathcal{O}(m\log n)O(mlogn).

案例

5年期债券的面值是100100100元，年票面利率是5%5\%5%，每半年付息一次，现在债券的价格是110110110元，求债券的YTM.

解析

根据YTM的定义列出方程
P=110=2.51+y+2.5(1+y)2+⋯+102.5(1+y)10P=110=\frac{2.5}{1+y}+\frac{2.5}{(1+y)^2}+\dots+\frac{102.5}{(1+y)^{10}} P=110=1+y2.5+(1+y)22.5+⋯+(1+y)10102.5

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const double EPS=1e-6; // 定义误差精度double ytm(const vector<double> &cf, const double y){double ans=0.00;for(int i=0; i<cf.size(); ++i){ans+=cf[i]/pow(1+y, i+1);}return ans;
}int main(){double capital = 100.00; // 面值double p=110.00; // 债券价格int tm=2; // 每年付息频率int years=5; // 年限double crate=0.05; // 息票利率vector<double> cflows;for(int i=1; i<=tm*years; ++i){if(i<tm*years) cflows.push_back(capital*crate/tm);else cflows.push_back(capital*crate/tm+capital);}double l=0.00;double r=1.00;while(ytm(cflows, r)>p) r*=2; // 扩张上界while(l+EPS<r){double mid=(l+r)/2.0;if(ytm(cflows, mid)>p) l=mid;else r=mid;}cout<<"YTM: "<<2*l<<endl; // 从半年期YTM换算到年YTMreturn 0;
}

债券的赎回收益率

如果债券附有发行者在到期日之前的赎回条款，这种权利被称为赎回权(call option)，拥有赎回权的债券被称为可赎回债券(callable bond)，发行者支付的价格被称为赎回价格(call price).
当使赎回日现金流的现值和债券全价相等时的收益率就是赎回收益率，即满足方程
P=∑t=1nC(1+y)t+CP(1+y)nP=\sum_{t=1}^n\frac{C}{(1+y)^t}+\frac{CP}{(1+y)^n} P=t=1∑n(1+y)tC+(1+y)nCP

案例

考虑一种面值为100010001000，有效期181818年，市场价格为700700700，年票面利率是6%6\%6%，每半年付息一次的可赎回债券，假设这个债券最早可以在555年后以103010301030的价格赎回，计算赎回收益率.

解析

每半年利息为C=1000∗6%∗0.5=30C=1000*6\%*0.5=30C=1000∗6%∗0.5=30
赎回价格CP=1030CP=1030CP=1030
设赎回收益率为yyy，因此满足下列方程
P=700=30(1+y)+30(1+y)2+⋯+30(1+y)10+1030(1+y)10P=700=\frac{30}{(1+y)}+\frac{30}{(1+y)^2}+\dots+\frac{30}{(1+y)^{10}}+\frac{1030}{(1+y)^{10}} P=700=(1+y)30+(1+y)230+⋯+(1+y)1030+(1+y)101030

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
const double EPS=1e-6; // 定义误差精度double ytm(const vector<double> &cf, const double y){double ans=0.00;for(int i=0; i<cf.size(); ++i){ans+=cf[i]/pow(1+y, i+1);}return ans;
}int main(){double capital = 1000.00; // 面值double call_price=1030; // 赎回价格double p=700.00; // 债券价格int tm=2; // 每年付息频率int years=5; // 年限double crate=0.06; // 息票利率vector<double> cflows;for(int i=1; i<=tm*years; ++i){if(i<tm*years) cflows.push_back(capital*crate/tm);else cflows.push_back(capital*crate/tm+call_price);}double l=0.00;double r=1.00;while(ytm(cflows, r)>p) r*=2;while(l+EPS<r){double mid=(l+r)/2.0;if(ytm(cflows, mid)>p) l=mid;else r=mid;}cout<<"YTM: "<<2*l<<endl;return 0;
}

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