第五章 归纳关系与规则归纳 Inductive Relations and Rule Induction

类似于在第 2 章讨论过的归纳定义的集合或类型定义（inductive set or type definitions），本章介绍以归纳方式定义relations关系（和predicates谓词，单个参数的relation的通俗名称），并给了一些简单的示例。

补充：
关系是定义在类型之上的一种特殊函数，它描述了类型中元素之间的某种关系。谓词是一种关系，它只描述单个元素的某种性质或特征。
使用归纳方式定义关系或谓词的基本思想是，先定义一个基础情况（即关系或谓词的初始状态），然后定义如何将该关系或谓词“递归”到更大的情况。这个递归定义通常包括一个归纳步骤和一个递归调用。
例如，假设我们想定义一个关系“大于”，它描述自然数之间的大小关系。我们可以先定义“大于”关系的基础情况为自然数0不大于任何自然数，然后定义如何将“大于”关系递归到更大的自然数上：对于任意自然数n，如果n大于m，则n+1也大于m+1。
类似地，我们可以使用归纳方式定义一个谓词“偶数”，它描述自然数是否为偶数。我们可以先定义基础情况为自然数0是偶数，然后定义如何将“偶数”谓词递归到更大的自然数上：对于任意自然数n，如果n-2是偶数，则n也是偶数。

5.1 定义为归纳谓词的有限集 Finite Sets as Inductive Predicates

补充：
在Coq中，使用Definition命令定义谓词，谓词是指定义在一个或多个变量上的布尔值函数。谓词常用于定义性质和限制条件，例如素数、偶数等。谓词也可以用于定义关系，例如等价关系、有限状态机等。

一个归纳谓词是一个描述特定集合的谓词，它可以通过一系列的规则（也称为构造子）来定义。

任何有限集finite set都很容易定义为谓词predicate，可以使用一组不包括前提的推理规则来表示。例如，如果最喜欢的数字是17、23和42，我们可以这样定义谓词favorites：

就像将inductive sets定义为满足给定推理规则的最小的集合一样，现在我们将inductive predicates定义为满足规则的最小谓词。上面这个例子给出的规则要求接受17、23和42，不能再多，因此这3个值正是这个谓词所接受的值。

任何归纳谓词定义都有相应的induction principle归纳原理，也就是之前讲过的结构归纳法：如果我们想证明归纳定义的任意P(x)都能推出Q(x)，那么我们只需要根据P的归纳定义，证明Q(x)对所有原子形式的P(x)都成立，以及对P(x)的所有构造方法，Q(x)也保持成立。

补充：结构归纳

对于上面举的谓词favorites归纳定义的例子，由于它只有3个原子形式的构造子，是一个退化的归纳定义，它的原理不需要归纳假设，因此我们只需要证明Q(x)对所有原子构造子都成立就行了：

回顾：第二章讲过的结构归纳原理
https://blog.csdn.net/qq_53287459/article/details/127186625?spm=1001.2014.3001.5501#t6

通常，用在proofs of relations关系证明上面的归纳称为rule induction归纳规则，比如下面这个简单的定理证明：对于任意x，如果favorites(x)为真，那么x<50。

5.2 关系的传递闭包 Transitive Closure of Relations

补充：
传递闭包是一个关系的扩展，它包含了原始关系中所有可以通过一系列关系连接起来的元素对。例如，如果关系R表示“x可以到达y”，则R的传递闭包将包括所有可以通过一系列“可以到达”关系连接起来的元素对。传递闭包关系是传递性的，即如果R中有元素对(x, y)和(y, z)，则传递闭包中必定包括元素对(x, z)。

如果R表示一个二元关系的话，那么它的传递闭包R+的定义如下：

也就是说，R+是满足这两个规则的最小关系，既包含 R 又是传递的。

要证明对任意的x,y，如果xy满足R的传递闭包关系，那么Q(x,y)成立，我们需要应用第二章讨论过的方法（改变规则结论并添加新的归纳假设）来得出 R+ 的归纳原理：

下面用自然数的小于关系作为传递闭包的例子：如果用向右开口的这个符号<表示x比y小1的关系，也就是x+1=y，那么这个关系的传递闭包<+就可以表示小于关系，也就是说第一个参数可以通过某个有限数量的增量到达第二个参数。

下面是几个小于关系传递闭包相关的定理证明：

定理5.2，如果任意自然数xy满足小于的传递闭包关系，那么x<y. 证明是利用结构归纳的方法，可以把上面说的Q(x,y)看成x<y的关系，来看看证明的中间过程：

第一步，由上面传递闭包的归纳原理定义我们知道，我们需要证明两个目标，一个是在xy满足x+1=y的前提H下证明Q(x,y)，也就是x<y；另一个是在x y z满足Q(x,y)和Q(y,z)的前提下证明Q(x,z)，也就是x<z。

对于第一个目标，我们把oneApart的定义在前提H中展开，就得到了x与y的关系是x+1=y，那么由线性运算的策略很容易证明x<y。

对于第二个目标，需要引入两个前提以及两个归纳假设，前提H表示xy满足传递闭包关系，前提H0表示yz满足传递闭包关系，归纳假设IHtc1表示x<y，归纳假设IHtc2表示y<z, 那么由线性运算可以得出x<z。

引理5.3：对于任意的自然数n k，n和(1+k)+n满足传递闭包关系。

证明方法是对k进行归纳证明，产生两个证明子目标，一个是k=0的情况，目标为证明n与n+1满足传递闭包关系；另一个是k=k+1的情况，目标变成证明n与1+(1+(k+n))满足传递闭包关系。

对于第一个目标，应用TcBase : forall x y, R x y -> tc R x y，匹配右端，得到需要继续证明n与S n满足n+1=S n的关系。

和之前一样，把oneApart的定义展开后进行线性算术化简即可得证。

对于第二个目标，需要引入归纳假设IHk: n与1+(k+n)满足传递闭包关系。

通过应用TcTrans : forall x y z, tc R x y -> tc R y z -> tc R x z，匹配右端，令y=1+(k+n)，得到两个证明子目标：一是证明n与1+(k+n)满足传递闭包，二是证明1+(k+n)与1+(1+(k+n))满足传递闭包。

通过应用归纳假设IHk，第一个子目标得证。

对于第二个子目标，再次应用TcBase : forall x y, R x y -> tc R x y，匹配右端，得到需要继续证明1+(k+n)与1+(1+(k+n))满足1+(k+n) +1=1+(1+(k+n))的关系。

同样的，将oneApart的定义展开后用线性算术进行化简即可得证。

定理5.4：如果自然数n<m，那么n和m满足小于的传递闭包关系。

证明时通过把m替换为1+(m-n-1)+n的等价形式，结合上一个引理5.3，就可以把k看作等于m-n-1后直接应用引理5.3就得证了。

代码还提供了一个R+与R++的逻辑等价的证明练习，需要在证明的两个方向上进行rule induction。

5.3 排列 Permutations

补充：
一个列表（list）的permutation（排列）指的是对这个列表元素的重新排列，产生一个新的列表，使得原来列表中的每个元素在新列表中都有且只有一个对应位置。
例如，给定列表 [1, 2, 3]，它的所有排列有 [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]，这些排列是由对原始列表的元素进行重新排列得到的。
通常，如果列表中有n个元素，它的所有排列的数量是n的阶乘，即n!，其中0!=1。因此，当n比较大时，列表的排列数量会非常庞大。

我们可以使用归纳关系来解释一个列表何时是另一个列表的排列，这里用中缀关系符~表示：

我们用之前一样的方法推导出它的归纳原理，表明对于任意的l和l'，若l~l'，那么Q(l,l')成立：

下面例举了一些合理的代数性质以及对应的证明。

引理5.5：对于任意的列表l，在表头加入元素a是在表尾连接一个元素a的排列。

证明方法是对列表l进行归纳证明，产生两个证明子目标，一种情况是列表l为空[]，那么目标一是证明[a]是[a]的排列；另一种情况是列表可以表示为a0::ls，也就是列表至少有一个元素a0的情况，那么目标需要证明a::a0::ls是a0::ls++[a]的排列。

对于第一个子目标，应用perm_skip : forall x l l', Permutation l l' -> Permutation (x::l) (x::l')，匹配目标右端，得出需要继续证明[]是[]的排列。

应用perm_nil : Permutation [] []，第一个子目标即可得证。

对于第二个子目标，需要引入一个归纳假设IHls。用perm_trans : forall l l' l'', Permutation l l' -> Permutation l' l'' -> Permutation l l''，令l'为a0::a::ls，匹配目标右端，得出需要继续证明的两个子目标，分别是证明a::a0::ls和a0::a::ls是排列、证明a0::a::ls和a0::ls++[a]是排列。

对于第一个子目标，应用perm_swap : forall x y l, Permutation (y::x::l) (x::y::l)即可得证。

对于第二个子目标，应用perm_skip : forall x l l', Permutation l l' -> Permutation (x::l) (x::l')，匹配目标右端，得出需要继续证明a::ls和ls++[a]是排列。

使用归纳假设IHls，目标得证。

定理5.6：对于任意列表l，l是l的逆序的排列。

同理，对l进行归纳证明。

定理5.7：对于任意的列表l1、l2，如果l1是l2的一种排列，那么l1的元素个数等于l2的元素个数。

对排列关系的定义进行归纳证明，一共有4种情况，产生4个证明子目标，每个子目标都可以通过第二章提到过的带未解释函数的相等理论equality with uninterpreted functions（https://blog.csdn.net/qq_53287459/article/details/127186625#t7）进行证明。

引理5.8：列表l的排列包括自身。

对列表进行归纳证明，产生两个子目标。

引理5.9：如果l1和l2是排列关系，那么同时在l1和l2右端连接上一个相同的列表l后，二者依然满足排列关系。

引理5.10：如果l1和l2是排列关系，那么同时在l1和l2左端连接上一个相同的列表l后，二者依然满足排列关系。

定理5.11：如果l1与l1'满足排列关系、l2与l2'满足排列关系，那么l1与l2连接后的列表和l1'与l2'连接后的列表也满足排列关系。

5.4 最小命题逻辑 A Minimal Propositional Logic

补充：
命题逻辑和一阶逻辑（谓词逻辑）
命题逻辑、一阶逻辑和二阶逻辑

由于编程语言和逻辑之间存在着紧密的联系，编程语言里同样的技术也经常应用于逻辑公式的形式化语言。因此，这一节使用命题逻辑作为例子来体验形式化逻辑，同时继续练习归纳关系。

作为对逻辑公式的语法树进行推理的热身，下面是基本命题逻辑公式的定义：包含4个构造子，分别是真、假、合取、析取。

下面是predicate "proves"（谓词“证明”）的简单归纳定义：真显然为真，假不能证，证明合取需要同时证明两个合取，证明析取需要证明其中一个或另一个。

一个简单的解释器也可以用来解释这种语言：

接下来要证明这两种表达的一致性：

定理5.12：归纳谓词的可靠性。对于任意的命题逻辑公式p，如果p能够被证明，那么p就能够被解释。

定理5.13：归纳谓词的完备性。对于任意的命题逻辑公式p，如果p能够被解释，那么p就能够被证明。

对p进行归纳证明，按p的归纳定义产生4个证明子目标。蕴含的前件作为前提添加到证明中。

5.5 带有蕴含的命题逻辑 Propositional Logic with Implication