初等数论--二次剩余与二次同余方程--成为二次剩余的充要条件

博主是初学初等数论（整除+同余+原根），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：初等数论，方便检索。

设ppp为奇素数，则aaa是模ppp的二次剩余的充要条件是ap−12≡1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)a2p−1≡1(modp)，aaa是模ppp的二次非剩余的充要条件是ap−12≡−1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)a2p−1≡−1(modp)

证明：
通过Fermat’s little theorem，我们知道对于一个素数ppp，任何小于它的数aaa，都有下式成立：
ap−1≡1(modp)(ap−12+1)(ap−12−1)≡0(modp)ap−12≡1(modp)或ap−12≡−1(modp)a^{p-1}\equiv 1(mod p)\\ (a^{\frac{p-1}{2}}+1)(a^{\frac{p-1}{2}}-1)\equiv 0(mod p)\\ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)或a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)ap−1≡1(modp)(a2p−1+1)(a2p−1−1)≡0(modp)a2p−1≡1(modp)或a2p−1≡−1(modp)
我们现在只需要考虑在这p−1p-1p−1个数中，二次剩余/非剩余与ap−12≡1/−1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1/-1(mod p)a2p−1≡1/−1(modp)的关系。

现在证明：

aaa是模ppp的二次剩余的充要条件是ap−12≡1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)a2p−1≡1(modp)

证明：
→:a\rightarrow :a→:a是模ppp的二次剩余→a≡x02(modp)→ap−12≡x0p−1(modp)\rightarrow a\equiv x_0^2(mod p)\rightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv x_0^{p-1}(mod p)→a≡x02(modp)→a2p−1≡x0p−1(modp)
因为(a,p)=1,(a,p)=1,(a,p)=1,且a≡x02(modp)a\equiv x_0^2(mod p)a≡x02(modp),所以(x0,p)=1(x_0,p)=1(x0,p)=1,即x0p−1≡1(modp)→ap−12≡1(modp)x_0^{p-1}\equiv 1(mod p)\rightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)x0p−1≡1(modp)→a2p−1≡1(modp)

←:\leftarrow:←:反证法：通过假设aaa不是模ppp的二次剩余，来证明ap−12a^{\frac{p-1}{2}}a2p−1不满足≡1(modp)\equiv 1(mod p)≡1(modp)
aaa不能写成a≡x02(modp)a\equiv x_0^2(mod p)a≡x02(modp)的形式，即对于方程bx≡a(modp),bbx\equiv a(mod p),bbx≡a(modp),b取模ppp的既约剩余系中的某个xi,x_i,xi,解xj≠xi,x_j\neq x_i,xj=xi,即a=xi⋅xj(modp)a=x_i·x_j(mod p)a=xi⋅xj(modp)
因为bbb是模ppp的既约剩余系中取的，所以(b,p)=1,→∃b−1→∃x≡b−1⋅a(modp)(b,p)=1,\rightarrow {\exists}b^{-1}\rightarrow {\exists}x\equiv b^{-1}·a(mod p)(b,p)=1,→∃b−1→∃x≡b−1⋅a(modp)，所以方程解存在且唯一。
根据a=xi⋅xj(modp)a=x_i·x_j(mod p)a=xi⋅xj(modp)，我们可以把ppp的既约剩余系两两分完，共p−12\frac{p-1}{2}2p−1对：
ap−12≡(xi⋅xj)p−12(modp)ap−12≡(xk⋅xl)p−12(modp)……a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (x_i·x_j)^{\frac{p-1}{2}}(mod p)\\ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (x_k·x_l)^{\frac{p-1}{2}}(mod p)\\ ……a2p−1≡(xi⋅xj)2p−1(modp)a2p−1≡(xk⋅xl)2p−1(modp)……
故(ap−12)p−12≡(xi⋅xj⋅xk⋅xl……)p−12(modp)≡[(p−1)⋅(p−2)⋅……⋅1]p−12(modp)(a^{\frac{p-1}{2}})^{\frac{p-1}{2}}\equiv (x_i·x_j·x_k·x_l……)^{\frac{p-1}{2}}(mod p)\equiv [(p-1)·(p-2)·……·1]^{\frac{p-1}{2}}(mod p)(a2p−1)2p−1≡(xi⋅xj⋅xk⋅xl……)2p−1(modp)≡[(p−1)⋅(p−2)⋅……⋅1]2p−1(modp)
即ap−12≡(p−1)!≡−1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv (p-1)!\equiv -1(mod p)a2p−1≡(p−1)!≡−1(modp),不满足ap−12≡1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)a2p−1≡1(modp)

←:\leftarrow:←:第二种证法，用原根证，不需要反证
我们已知ap−12≡1(modp),a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p),a2p−1≡1(modp),要证存在x02≡a(modp)x_0^2\equiv a(mod p)x02≡a(modp)
假设xxx是ppp的原根，即xn≡1(modp),n=p−1x^n\equiv 1(mod p),n=p-1xn≡1(modp),n=p−1是最小的满足这个式子的条件，即当n<p−1.n<p-1.n<p−1.这个式子不会成立。任何一个数a(a<p)a(a<p)a(a<p)都可以用a≡xi(modp),∃ia\equiv x^i(mod p),{\exists}ia≡xi(modp),∃i的形式表示。
a≡xi→ap−12≡xi2⋅(p−1)≡1(modp)a\equiv x^i\rightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv x^{\frac{i}{2}·(p-1)}\equiv 1(mod p)a≡xi→a2p−1≡x2i⋅(p−1)≡1(modp)
我们已知xp−1≡1(modp)x^{p-1}\equiv 1(mod p)xp−1≡1(modp)，所以p−1∣i2⋅(p−1)→2∣i,p-1\mid \frac{i}{2}·(p-1)\rightarrow 2\mid i,p−1∣2i⋅(p−1)→2∣i,即满足x02≡a(modp)x_0^2\equiv a(mod p)x02≡a(modp)的x0=xi2x_0=x^{\frac{i}{2}}x0=x2i

由aaa是模ppp的二次剩余的充要条件是ap−12≡1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(mod p)a2p−1≡1(modp)推出aaa是模ppp的二次非剩余的充要条件是ap−12≡−1(modp)a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)a2p−1≡−1(modp)

初等数论--二次剩余与二次同余方程--成为二次剩余的充要条件相关推荐

初等数论--二次剩余与二次同余方程--既约剩余系中二次剩余的个数
初等数论--二次剩余与二次同余方程--既约剩余系中二次剩余的个数博主是初学初等数论(整除+同余+原根),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一 ...
初等数论--二次剩余与二次同余方程--勒让德符号Legendre，高斯引理，雅可比符号Jacobi symbol
初等数论--二次剩余与二次同余方程--勒让德符号Legendre,高斯引理,雅可比符号Jacobi symbol 勒让德符号Legendre 高斯引理雅可比符号Jacobi symbol 博主是初学 ...
初等数论--二次剩余与二次同余方程--二次互反律
初等数论--二次剩余与二次同余方程--二次互反律博主是初学初等数论(整除+同余+原根),本意是想整理一些较难理解的定理.算法,加深记忆也方便日后查找:如果有错,欢迎指正. 我整理成一个系列:初等数论 ...
二次同余方程（二次剩余）
文章目录一.介绍 1.定义 2.定理二.判别 1.勒让德符号(Legendre Symbol) 2.欧拉判别准则(Euler's criterion) (1)内容 (2)证明 (3)注意三.x2 ...
NOI数学：二次同余方程的解法
高精度取模高精度取模_to_more_excellent的博客-CSDN博客_c++高精度取模 C++ P1082 同余方程 C++ P1082 同余方程_ice_word的博客-CSDN博客_c+ ...
二次同余方程模合数的一般解法
0.不讨论复杂情况的解释对于一般的二次同余方程形如可以通过配方化为下式可通过换元,得到解出X的取值,然后用2ax+b回带,用扩展欧几里得解线性同余方程就可以得到方程本来的解注意上式得到了一般 ...
信奥中的数学：孙子定理中国剩余定理
孙子定理中国剩余定理孙子定理中国剩余定理_Dreamer Thinker Doer-CSDN博客中国剩余问题(简介+详解) 中国剩余问题(简介+详解)_dreamzuora的博客-CSDN博客 ...
数论基础：模奇素数的二次剩余 (1)
注意: 本文讨论的是模奇素数的二次剩余目前不打算写二次互反律,不易写明白什么是二次剩余求解模小素数的二次同余方程求解模小素数的二次方程,只需要遍历 Zp⋆\mathbb{Z}_p^{\star ...
二次剩余推理及其求解过程
定义: \quad给出一个式子x2≡n(modp)x^2≡n(mod p)x2≡n(modp),再给出nnn和ppp,如果能求得一个x满足该式子,即xxx满足x2=n+kp,k∈Zx^2=n+kp,k ...

初等数论--二次剩余与二次同余方程--成为二次剩余的充要条件

初等数论--二次剩余与二次同余方程--成为二次剩余的充要条件

初等数论--二次剩余与二次同余方程--成为二次剩余的充要条件相关推荐

最新文章

热门文章