基于二分查询树（BinarySearchTrees）实现的键值对表（symbole-table）

概述

二叉树BSTs很容易实现，并且如果BSTs的键插入的顺序非常接近随机模型，那么BSTs能够提供快速搜索和插入。

很多程序开发者选用BSTs来实现symbol-table（键值对表），因为这样的实现支持快速的rank（查询第几位的值），select、delete、和范围查询操作。

但是，最坏的情况下，使用二叉树，其性能仍然是不能让人忍受的。基于二叉树的实现，好的性能是基于键基本满足随机的键，这样能保证树不可能包含太多的长的路径。

使用快速排序的时候，我们能够使随机化；但是使用一个symbole-table的API，我们没有这种自由，因为客户控制着混合操作。

实际上，二叉树最坏的情况不是不可能出现——当客户按照正向顺序或逆向顺序插入键（keys）的时候，最坏的情况就出现了。

剖析二分查询树

每个节点都有两个分叉；

左分叉上的节点值小于父节点的值，右分叉上的节点值大于父节点上的值；

从上往下将二分查询树的节点投影到一条线上，从左到右，节点的值依次增大；

任何一个节点x上，其元素的个数为: size(x)=size(x.left)+size(x.right)+1

一、基本的结构

public class BinarySearchTreeSymbolTable<Key extends Comparable<Key>, Value> {private Node root;private class Node{private Key key;private Value value;private Node left,right;private int N;public Node(Key key, Value value, int N){this.key = key;this.value = value;this.N = N;}}public int size(){return size(root);}public int size(Node x){if (x == null) return 0;return x.N;}
}

二、查询和插入

查询一个key对应的value值

    public Value get(Key key){return get(root, key);}public Value get(Node x, Key key){if (x == null) return null;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp<0) return get(x.left, key);else if (cmp>0) return get(x.right, key);else return x.value;}

插入key和value值

    public void put(Key k, Value v){root = put(root, k, v);}public Node put(Node x, Key k, Value v){if (x==null) return new Node(k, v, 1);int cmp = k.compareTo(x.key);if (cmp<0) x.left = put(x.left, k, v);else if (cmp>0) x.right = put(x.right, k, v);else x.value = v;x.N = size(x.left) + size(x.right) + 1;return x;}

三、最大值、最小值和地板、天花板

最大值和最小值

    public Key min(){if (root==null) return null;return min(root).key;}public Node min(Node x){if (x.left == null) return x;return min(x.left);}public Key max(){if (root==null) return null;return max(root).key;}public Node max(Node x){if (x.right == null) return x;return max(x.right);}

地板（floor）：在BST中查找一个最大值，这个最大值小于或等于key

    /*** the largest key in the BST less than or equal to key* @param key* @return*/public Key floor(Key key){Node x = floor(root, key);if (x == null) return null;return x.key;}private Node floor(Node x, Key key){if (x==null) return null;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp==0) return x;if(cmp<0) return floor(x.left, key);Node t = floor(x.right, key);if (t!=null) return t;else return x;}

天花板（ceiling）：在BST中查找一个最小值，这个最小值大于或等于Key

    /*** the smallest key in the BST greater than or equal to key* @param key* @return*/public Key ceiling(Key key){Node x = ceiling(root, key);if (x == null) return null;return x.key;}public Node ceiling(Node x, Key key){if (x==null) return null;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp == 0) return x;if (cmp>0) return ceiling(x.right, key);Node t = ceiling(x.left, key);if (t!=null) return t;else return x;}

四、查询第几个元素、查询元素的位置

查询第k个位置的元素（从0开始计数）：select

    public Key select(int  ki){Node x = select(root, ki);if (x!=null) return x.key;return null;}public Node select(Node x, int ki){if (x==null) return null;int t = size(x.left);if (t>ki) return select(x.left, ki);else if (t<ki) return select(x.right, ki-t-1);else return x;}

查询比元素key小的元素个数：rank

   public int rank(Key key){return rank(root, key);}public int rank(Node x, Key key){if (x==null) return 0;int cmp = key.compareTo(x.key);if (cmp<0) return rank(x.left, key);else if (cmp>0) return size(x.left) + 1 + rank(x.right, key);else return size(x.left);}

五、遍历二分查询树、查询一个范围内的所有值

按照下面做，能够按照顺序进行遍历

    public Iterable<Key> keys(){return keys(min(), max());}public Iterable<Key> keys(Key lo, Key hi){Queue<Key> queue = new Queue<>();keys(root, queue, lo, hi);return queue;}private void keys(Node x, Queue<Key> queue,Key lo, Key hi){if (x==null) return;int cmpLo = lo.compareTo(x.key);int cmpHi = hi.compareTo(x.key);if (cmpLo<0) keys(x.left, queue, lo, hi);if (cmpLo<=0 && cmpHi>=0) queue.enqueue(x.key);if (cmpHi>0) keys(x.right, queue, lo ,hi);}

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