C++算法之化繁为简的分治法

化繁为简的分治法

1.算法解释

顾名思义，分治问题由“分”（divide）和“治”（conquer）两部分组成，通过把原问题分为子问题，再将子问题进行处理合并，从而实现对原问题的求解。我们在排序章节展示的归并排序就是典型的分治问题，其中“分”即为把大数组平均分成两个小数组，通过递归实现，最终我们会得到多个长度为 1 的子数组;“治”即为把已经排好序的两个小数组合成为一个排好序的大数组，从长度为 1 的子数组开始，最终合成一个大数组。
我们也使用数学表达式来表示这个过程。定义 T(n) 表示处理一个长度为 n 的数组的时间复杂度，则归并排序的时间复杂度递推公式为 T(n) = 2T(n/2) + O(n)。其中 2T(n/2) 表示我们分成了两个长度减半的子问题，O(n) 则为合并两个长度为 n/2 数组的时间复杂度。那么怎么利用这个递推公式得到最终的时间复杂度呢？这里我们可以利用著名的主定理（Master theorem）求解：

通过主定理我们可以知道，归并排序属于第二种情况，且时间复杂度为 O(n log n)。其他的分治问题也可以通过主定理求得时间复杂度。
另外，自上而下的分治可以和 memoization 结合，避免重复遍历相同的子问题。如果方便推导，也可以换用自下而上的动态规划方法求解。

2.例题

给定一个只包含加、减和乘法的数学表达式，求通过加括号可以得到多少种不同的结果

题解：利用分治思想，可以把加括号转化为，对于每个运算符号，先执行处理两侧的数学表达式，再处理此运算符号。注意边界情况，即字符串内无运算符号，只有数字。

vector<int>diffWaysToCompute(string input)
{vector<int>ways;for(int i=0;i<input.length();i++){char c = input[i];if(c=='+'||c=='-'||c=='*'){vector<int>left=diffWaysToCompute(input.sub(0,i));vector<int>right=diffWaysToCompute(input.sub(i+1));for(const int & 1:left){for(const int & r:right){switch(c){case'+':ways.push_back(l+r);break;case'-':ways.push_back(l-r);break;case'*':ways.push_back(l*r);break;}}}}}if(ways.empty()) ways.push_back(stoi(input));return ways;
}

我们发现，某些被 divide 的子字符串可能重复出现多次，因此我们可以用 memoization 来去重。或者与其我们从上到下用分治处理 +memoization，不如直接从下到上用动态规划处理。

vector<int>diffWaysToCompute(string input){vector<int>data;vector<char>ops;int num=0;char op=' ';istringstream ss(input + "+");while(ss>>num&&ss>>op){data.push_back(num);ops.push_back(op);}int n=data.size();vector<vector<vector<int>>> dp(n,vector<vector<int<<(n,vector<int>()));for(int i=0;i<n;++i){for(int j=i;j>=0;--j){if(i==j){dp[j][i].push_back(data[i]);}else{for(int k=j;k<i;k+=1){for(auto left : dp[j][k]){for(auto right : dp[k+1][i]){int val=0;switch(ops[k]){case '+':val=left+right;break;case '-':val=left-right;break;case '*':val=left*right;break;}dp[j][i].push_back(val);}}}}}}return dp[0][n-1];
}

上节动态规划还有一解决股票交易问题没写，这里补上：

3.股票交易

题目一：给定一段时间内每天的股票价格，已知你只可以买卖各一次，求最大的收益、
例：输入一个数组，表示每天的股票价格；输出一个整数，表示最大的收益

我们可以遍历一遍数组，在每一个位置 i 时，记录 i 位置之前所有价格中的最低价格，然后将当前的价格作为售出价格，查看当前收益是不是最大收益即可。

int maxProfit(vector<int>&prices)
{int sell=0,buy=INT_MIN;for(int i=0;i<prices.size();++i){buy=max(buy,-prices[i]);sell=max(sell,buy+prices[i]);}return sell;
}

题目二：给定一段时间内每天的股票价格，已知你只可以买卖各k次，且每次只能拥有一只股票，求最大的收益。

如果 k 大于总天数，那么我们一旦发现可以赚钱就进行买卖。如果 k 小于总天数，我们可以
建立两个动态规划数组 buy 和 sell，对于每天的股票价格，buy[j] 表示在第 j 次买入时的最大收
益，sell[j] 表示在第 j 次卖出时的最大收益。

//辅函数
int maxProfitUnlimited(vector<int>prices)
{int maxProfit=0;for(int i=1;i<prices.size();++i){if(peices[i]>prices[i-1]){maxProfit += prices[i] - prices[i-1];}}return maxProfit;
}
//主函数
int maxProfit(int k,vector<int>&prices)
{int days=prices.size();if(days<2){return 0;}if(k>=days){return maxProfitUnlimited(prices);}vector<int>buy(k+1,INT_MIN),sell(k+1,0);for(int i=0;i<days;++i){for(int j=0;j<=k;++k){buy[j] = max(buy[j],sell[j-1] - prices[i]);sell[j] = max(sell[j],buy[j] + prices[i]);}}return sell[k];
}

题目三：给定一段时间内每天的股票价格，已知每次卖出之后必须冷却一天，且每次只能拥有一支股票，求最大的收益。

我们可以使用状态机来解决这类复杂的状态转移问题，通过建立多个状态以及它们的转移方式，我们可以很容易地推导出各个状态的转移方程。如图所示，我们可以建立四个状态来表示带有冷却的股票交易，以及它们的之间的转移方式。

int maxProfit(vector<int>&prices)
{int n=prices.size();if(n==0){return 0;}vector<int>buy(n),sell(n),s1(n),s2(n);s1[0]=buy[0]=-prices[0];sell[0]=s2[0]=0;for(int i=1;i<n;i++){buy[i]=s2[i-1]-prices[i];s1[i]=max(buy[i-1],s1[i-1]);sell[i]=max(buy[i-1],s1[i-1])+prices[i];s2[i]=max(s2[i-1],sell[i-1]);}return max(sell[n-1],s2[n-1]);
}

2021.09.09
滴滴，入职工作5个月零3天了
经验、方法、思考、练习、积累
好好加油，以一个好的面貌迎接2022年！