用AI引导人类直觉促进数学发展 【DeepMind Nature2021.12.1】
目录
- Advancing mathematics by guiding human intuition with AI
- 摘要
- 用AI引导数学直觉
- 拓扑学
- 表示论
- 方法
- 框架
- 拓扑学
原论文：Advancing mathematics by guiding human intuition with AI
https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
由于译者对文中具体提到的数学领域没有接触过，所以基本都是机翻，而且到最后只翻译了一半，但是对于想了解本文的ai内容的读者已经足够了。译者水平有限，错误难免，恳请读者批评指正。译者目前正在做这个方向的研究，欢迎读者与我交流，可博客留言或发邮件至infinitylyceum@163.com
译者对本文的评价：技术很传统，应用很新颖，对计算机技术在数学中应用的宣传意义大于技术进步意义。虽然我看不懂具体做的数学是什么……
Advancing mathematics by guiding human intuition with AI
摘要
数学的实践涉及到发现模式，并利用这些模式来提出和证明猜想，从而形成定理。自20世纪60年代以来，数学家们利用计算机来协助发现模式和提出猜想，其中最有名的是千禧年大奖问题Birch and Swinnerton-Dyer猜想（BSD猜想）。本文提供了在机器学习的帮助下发现的纯数学新的基本结果的例子——证明了机器学习可以帮助数学家发现新猜想和定理的方法。我们提出了一个利用机器学习来发现数学对象之间的潜在模式和关系的过程，用归因技术来理解它们，并利用这些观察来指导直觉和提出猜想。我们概述了这个机器学习指导的框架，并展示了它在纯数学不同领域的当前研究问题上的成功应用，在每一种情况下都显示了它是如何在重要的开放问题上导致有意义的数学贡献的：扭结的代数和几何结构之间的新联系，以及对称群的组合不变性猜想所预测的候选算法。我们的工作可以作为数学和人工智能（AI）领域之间合作的典范，通过利用数学家和机器学习的各自优势，可以取得令人惊讶的结果。
可以在https://github.com/deepmind下载交互式notebook和数据集，以重新生成纽结理论和表示论的结果。
数学进步的核心驱动力之一是发现模式和提出有用的猜想：那些被怀疑为真实但尚未被证明在所有情况下都成立的陈述。数学家们一直使用数据来帮助这一过程——从早期高斯和其他人使用的导致素数定理的手工计算素数表，到现代计算机生成的数据，如Birch and Swinerton-Dyer猜想。引入计算机来生成数据和测试猜想，使数学家对以前无法接触到的问题有了新的理解，但是，尽管计算技术在数学发现过程的其他部分已经变得越来越有用，人工智能系统还没有建立类似的地位。先前用于生成猜想的系统要么通过不容易推广到其他数学领域的方法贡献了真正有用的研究猜想，要么展示了寻找猜想的新颖、通用方法，但尚未产生有数学价值的结果。
人工智能，尤其是机器学习领域，提供了一系列可以有效检测数据模式的技术，并在科学学科中越来越多地显示出实用性。在数学领域，已经证明人工智能可以通过寻找现有猜想的反例、加速计算、生成符号解和检测数学对象中存在的结构来作为一种宝贵的工具。本文证明人工智能也可以用来协助发现数学研究前沿的定理和猜想。这扩展了使用监督学习来寻找模式的工作，重点是使数学家能够理解所学到的函数并得出有用的数学见解。我们提出了一个框架，用机器学习中强大的模式识别和解释方法来扩展传统数学家的工具包，并通过展示它如何导致我们的两个基本的新发现（一个在拓扑学，另一个在表示论）来证明其价值和通用性。我们的贡献显示了成熟的机器学习方法是如何被调整和整合到现有的数学工作流程中以获得新的结果。
用AI引导数学直觉
数学家的直觉在数学发现中起着极其重要的作用——“只有将严格的形式主义和良好的直觉结合起来，人们才能解决复杂的数学问题”。如图1所示的框架描述了一个一般的方法，数学家可以使用机器学习的工具来指导他们关于复杂数学对象的直觉，验证他们关于存在关系的假设，并帮助他们理解这些关系。我们提出，这是一种自然的、经验主义的方式，这些在统计学和机器学习中被充分理解的技术可以作为数学家工作的一部分来使用。
图1：框架流程图。通过训练一个机器学习模型来估计一个假设的函数fff，在一个特定的数据分布PZP_ZPZ上估计该函数，有助于指导数学家对假设的函数fff的直觉。直觉来自于学到的函数f^\hat{f}f^的准确性和应用于它的归因（Attribution）技术的见解，可以帮助理解问题和构建一个封闭式的f′f'f′. 这个过程是迭代和互动的，而不是一系列单一的步骤。
具体地，它通过识别一个函数f^\hat{f}f^，满足条件f^(X(z))≈Y(z)\hat{f}(X(z))\approx Y(z)f^(X(z))≈Y(z)，并对其进行分析，从而帮助指导数学家对与zzz相关的两个数学对象X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间关系的直觉。直观的例子：设zzz是一个凸多面体，X(z)∈Z2×R2X(z)\in \mathbb{Z}^2 \times\mathbb{R}^2X(z)∈Z2×R2是zzz的顶点数、边数、体积和表面积，Y(z)∈ZY(z)\in\mathbb{Z}Y(z)∈Z是zzz的面数。欧拉公式表明X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间有如下关系：X(z)⋅(−1,1,0,0)+2=Y(z)X(z)\cdot(-1,1,0,0)+2=Y(z)X(z)⋅(−1,1,0,0)+2=Y(z)。在这个简单的例子中，可以通过数据驱动的猜想生成的传统方法重新发现这种关系。然而，对于高维空间中的X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)，或更复杂的类型，如图，以及更复杂的非线性f^\hat{f}f^，这种方法要么不太有用，要么完全不可行。
该框架以两种方式帮助指导数学家的直觉：通过使用监督机器学习验证数学对象中假设存在的结构/模式；以及通过使用归因技术帮助理解这些模式。
在监督学习阶段，数学家提出一个假设，即X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间存在某种关系。通过生成X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)对的数据集，我们可以使用监督学习来训练一个预测Y(z)Y(z)Y(z)的函数f^\hat{f}f^，只用X(z)X(z)X(z)作为输入。在这个回归过程中，机器学习的关键贡献在于，在有足够数据量的情况下，可以学习到大量可能的非线性函数。如果f^\hat{f}f^比偶然预期的更准确，它表明可能有这样的关系需要探索。如果是这样，归因技术可以帮助理解学到的函数f^\hat{f}f^，足以让数学家猜测出一个候选的f′f^′f′。归因技术可以用来理解f^\hat{f}f^的哪些方面与Y(z)Y(z)Y(z)的预测相关。例如，许多归因技术旨在量化函数f^\hat{f}f^对X(z)X(z)X(z)的哪个部分敏感。我们在工作中使用的归因技术，梯度显著性（gradient saliency）通过计算输入的导数对f^\hat{f}f^的输出的影响来实现。这使得数学家能够识别并优先处理问题中最有可能与之相关的方面。在确定一个可行的猜想之前，这个反复的过程可能需要重复几次。在这个过程中，数学家可以将猜想的选择引导到那些不仅符合数据，而且看起来很有趣、貌似真实的猜想，最好还能暗示出一种证明策略。
从概念上讲，这个框架提供了一个 “直觉的试验台”——快速验证关于两个量之间的关系的直觉是否值得探索，如果值得探索，则指导它们如何相关。我们利用上述框架帮助数学家在两个案例中获得了有影响的数学结果——发现并证明了扭结理论中代数和几何不变量之间的第一个关系，以及猜想了对称群的组合不变量猜想的解决方案，这是表示理论中的一个著名猜想。在每个领域，我们都展示了该框架是如何成功地帮助指导数学家实现结果的。在每一个案例中，必要的模型都可以在几个小时内在一台具有单一GPU的机器上训练完成。
拓扑学
低维拓扑学是一个活跃而有影响力的数学领域。扭结（Knot）是R3\mathbb{R}^3R3中的简单闭合曲线，是研究的关键对象之一，该学科的一些主要目标是对它们进行分类，了解它们的属性并与其他领域建立联系。这方面的主要方法之一是通过不变量来实现的，不变量是对任何两个等价扭结都相同的代数、几何或数字量。这些不变量有许多不同的推导方式，但我们主要关注其中两个主要类别：双曲不变量和代数不变量。这两类不变式是由相当不同的数学学科推导出来的，因此，在它们之间建立联系是相当有意义的。图2显示了这些小扭结的不变量的一些例子。一个值得注意的猜想联系的例子是体积猜想，它提出一个结的双曲体积（一个几何不变量）应该被编码在其染色琼斯多项式（这是代数不变量）的渐近行为中。
图2：三个双曲纽结的不变量。我们假设几何不变量和代数不变量之间存在一种以前未被发现的关系。
我们的假设是，在一个结的双曲和代数不变量之间存在着一种未被发现的关系。一个监督学习模型能够检测出一大组几何不变量和signature σ(K)σ(K)σ(K)之间存在的模式，该signature已知编码了关于纽结K的重要信息，但以前并不知道它与双曲几何有关。图3a所示的归因技术确定的最相关的特征是尖峰几何的三个不变量，其关系在图3b中部分地被可视化。用仅由这些测量值组成的X(z)X(z)X(z)训练第二个模型，取得了非常相似的准确性，这表明它们是一组足够的特征，几乎可以捕捉到几何形状对signature的所有影响。这三个不变量是横向平移μμμ和纵向平移λλλ的实部和虚部。这些数量和特征之间存在着非线性的多变量关系。在被引导关注这些不变量之后，我们发现，这种关系最好通过一个新的量来理解，这个量与signature有线性关系。
图3：纽结理论归因。a.每个输入的属性值X(z)X(z)X(z)。具有较高值的特征是那些学习函数最敏感的特征，并且可能与进一步的探索有关。95%置信区间误差条是在模型的10次再训练中得出的。b.相关特征的示例可视化——meridional translation against signature的实部，颜色表示longitudinal translation。
我们引入“自然斜率”，定义为slope(K)=Re(λ/μ)slope(K) = Re(λ/μ)slope(K)=Re(λ/μ)，其中ReReRe表示实部。它有以下几何解释。在欧几里得环面上，子午线曲线可以作为测地线γγγ来实现。如果从这个垂直方向发射出测地线γγγ，它最终会返回并在某一时刻击中γγγ。在这样做的过程中，它将沿着经度减去子午线的几倍。这个倍数就是自然斜率。它不需要是整数，因为它的端点γ⊤γ^\topγ⊤可能和它的起点不一样。我们对自然斜率与signature的初步推测如下。
猜想：存在常数c1c_1c1和c2c_2c2，使得对于每一个双曲纽结KKK，
∣2σ(K)−slope(K)∣<c1vol(K)+c2|2\sigma(K)-slope(K)|<c_1 \operatorname{vol}(K)+c_2∣2σ(K)−slope(K)∣<c1vol(K)+c2
【未翻完，真心看不懂，看原文吧】
表示论
表示论是关于线性对称的理论。所有表示的构件都是不可还原的，理解它们是表示论最重要的目标之一。不可还原表示概括了傅里叶分析的基本频率。在几个重要的例子中，不可还原表示的结构受Kazhdan-Lusztig（KL）多项式的支配，它与组合学、代数几何和奇点理论有着深刻的联系。KL多项式是连接到对称群中的元素对上的多项式（或者更普遍的是连接到Coxeter群中的元素对上）。组合不变性猜想是关于KL多项式的一个迷人的开放性猜想，已经存在了40年，只有部分进展。它指出，对称群SNS_NSN中两个元素的KL多项式可以从它们的未标记的Bruhat区间，即一个有向图中计算出来。在理解这些对象之间的关系方面取得进展的一个障碍是，非三阶KL多项式（不等于1的那些）的Bruhat区间是非常大的图，很难形成直观的认识。一些小Bruhat区间及其KL多项式的例子显示在图4中。
图4：两个示例数据集元素，一个来自S5S_5S5，一个来自S6S_6S6。组合不变性猜想表明，一对排列的KL多项式应该可以从其未标记的Bruhat区间计算，但之前没有这样的函数。
我们把这个猜想作为我们的初始假设，并发现一个监督学习模型能够以相当高的准确度从Bruhat区间预测KL多项式。通过试验我们向网络输入Bruhat区间的方式，我们发现一些图形和特征的选择特别有利于准确预测。特别是，我们发现一个受先前工作启发的子图可能足以计算出KL多项式，而这得到了一个更准确的估计函数的支持。
通过计算归因技术确定为最相关的突出子图，并分析这些图与原始图的边缘分布，发现了进一步的结构证据。在图5a中，我们通过它们所代表的反射来汇总突出的子图中的边缘的相对频率。它表明，极端的反射（那些形式为(0,i)(0,i)(0,i)或(i,N−1)(i,N-1)(i,N−1)的SNS_NSN）比人们预期的更多地出现在突出的子图中，而牺牲了简单的反射（那些形式为(i,i+1)(i,i+1)(i,i+1)），这在图5b中经过多次模型的再训练得到了证实。这是值得注意的，因为边缘标签没有给网络，也不能从无标签的Bruhat区间恢复。从KL多项式的定义来看，简单反射和非简单反射之间的区别与计算它有关是很直观的；然而，最初并不明显，为什么极端反射会在突出的子图中被过度代表。考虑到这一观察，我们发现一个区间有一个自然的分解为两个部分–由一组极值边诱导的超立方体和一个与SN−1S_{N-1}SN−1中的区间同构的图。
这两个结构的重要性，如图5c所示，导致了一个证明，即KL多项式可以通过一个漂亮的公式直接从超立方体和SN−1S_{N-1}SN−1成分中计算出来，该公式在补充资料中进行了总结。 对数学结果的进一步详细处理见参考文献。
定理： 每个Bruhat区间都有一个沿其极值反射的典型超立方体分解，从中可以直接计算出KL多项式。
值得注意的是，进一步的测试表明，所有超立方体分解都能正确确定KL多项式。这一点在S7S_7S7以下的对称群中的所有3×1063×10^63×106个区间以及从S8S_8S8和S9S_9S9中抽取的超过1.3×1051.3×10^51.3×105个非同构区间都得到了计算验证。对称群S8S_8S8和S9S_9S9的非同构区间。
猜想：一个无标记的Bruhat区间的KL多项式可以用前面的公式计算出任何超立方体分解。
这个猜想的解决方案，如果被证明是真的，将解决对称群的组合不变性猜想。这是一个很有希望的方向，因为这个猜想不仅在相当大的例子中得到了经验上的验证，而且它还有一个特别好的形式，表明了攻破这个猜想的潜在途径。这个案例展示了如何从训练有素的模型中获得关于大型数学对象行为的非微观见解，从而发现新结构。
图5：表示论的归因。a. 一个例子的热图：突出的子图中出现的反射的百分比增加。预测q4q^4q4时，与数据集中各区间的平均数相比，突出子图中的反射增加的百分比的例子热图。 . b. 突出子图中观察到的每种类型的边的百分比。的再训练与10个相同大小的自举样本的比较。大小的数据集相比，观察到的每种类型的边的百分比。误差条是95%的置信区间。显示的显著性水平是用双侧双样本t检验确定的。∗p<0.05;∗∗∗∗p<0.0001.^*p < 0.05; ^{****}p < 0.0001.∗p<0.05;∗∗∗∗p<0.0001. c. 021435−240513∈S6021435-240513\in S_6021435−240513∈S6区间的图解 的有趣子结构，这些子结构是通过假设、监督学习和归因的迭代过程发现的。 受先前工作31启发的子图用红色突出显示，超立方体用绿色显示，分解成分与SN−1S_{N-1}SN−1中的区间同构用蓝色显示。
方法
框架
监督学习： 在监督学习阶段，数学家提出一个假设，即X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间存在一种关系。在这项工作中，我们假设不存在从X(z)X(z)X(z)到Y(z)Y(z)Y(z)的已知函数映射，这又意味着XXX不是可逆的（否则会存在一个已知函数Y∘X−1Y \circ X^{-1}Y∘X−1）。虽然当函数是已知的时候，这个过程可能仍然有价值，但我们把它留给未来的工作。为了测试XXX和YYY相关的假设，我们生成一个X(z),Y(z)X(z), Y(z)X(z),Y(z)对的数据集，其中zzz是从分布PZP_ZPZ中抽样的。后续阶段的结果只对分布PZP_ZPZ成立，而不是对整个空间ZZZ成立。最初，对PZP_ZPZ的合理选择是，例如，在ZZZ的前NNN个项目上均匀地进行排序，或者在可能的情况下均匀地随机进行排序。在随后的迭代中，可以选择PZP_ZPZ来理解空间ZZZ的不同部分的行为（例如，ZZZ的区域可能更有可能为一个特定的假设提供反例）。为了首先测试是否可以找到X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间的关系，我们使用监督学习来训练一个函数f^\hat{f}f^，该函数近似地映射X(z)X(z)X(z)到Y(z)Y(z)Y(z)。在这项工作中，我们使用神经网络作为监督学习方法，部分原因是它们可以很容易地适应许多不同类型的XXX和YYY，并且输入域X的任何固有的几何知识（在不变性和对称性方面）可以被纳入网络的结构中。如果学到的函数f^\hat{f}f^的准确性在统计上高于PZP_ZPZ的进一步样本（该模型没有被训练过），我们认为X(z)X(z)X(z)和Y(z)Y(z)Y(z)之间的关系被发现。反之亦然；即如果模型不能比偶然性更好地预测关系，这可能意味着一个模式存在，但足够复杂，以至于它不能被给定的模型和训练程序捕获。如果它确实存在，这可以使数学家有信心在一个问题上进行特定的调查，否则可能只是猜测。
归因技术：如果发现了一种关系，归因阶段就是用归因技术探究学习到的函数f^\hat{f}f^，以进一步了解这种关系的性质。这些技术试图解释哪些特征或结构与f^\hat{f}f^所做的预测有关，这可以用来理解问题的哪些部分是需要进一步探索的。在机器学习和统计学的文献中，有许多归因技术，包括逐步前向的特征选择（stepwise forward feature selection）、特征遮蔽（feature occlusion）和注意权重（attention
weights）。在这项工作中，我们使用了基于梯度的技术，大致类似于经典统计学中的敏感性分析，有时也被称为显著性地图。这些技术通过计算在X(z)X(z)X(z)发生微小变化的情况下Y(z)Y(z)Y(z)的预测中f^\hat{f}f^的变化程度，将重要性赋予X(z)X(z)X(z)的元素。我们相信这些是一类特别有用的归因技术，因为它们在概念上很简单，很灵活，很容易用支持自动微分的机器学习库来计算。然后，通过归因技术提取的信息可以用来指导下一步的数学推理，如猜想最终形式的候选函数f′f^′f′，改变采样分布PZP_ZPZ或产生关于感兴趣的对象zzz的新假设，如图1所示。然后，这可以导致这些数量之间的猜想关系的改进或修正版本。
拓扑学
问题框架：并非所有的纽结都承认双曲几何；然而，大多数纽结都承认双曲几何，而且所有的纽结都可以用satellite operation从双曲纽结和环形纽结构造出来。在这项工作中，我们只关注双曲纽结。我们通过一些容易计算的不变量来描述纽结补的双曲结构的特征。这些不变量并不完全定义双曲结构，但它们代表了几何学中最常见的有趣属性。我们最初的一般假设是，双曲不变量会对代数不变量有预测作用。我们研究的具体假设是，几何学对signature有预测作用。signature是一个理想的候选者，因为它是一个很好理解的、常见的不变量，对于大纽结来说很容易计算，而且它是一个整数，这使得预测任务特别简单（与例如多项式相比）。
数据生成：我们使用SnapPy软件包生成了一系列来自不同分布PZP_ZPZ的数据集，如下所示。
- 有约1.7×1061.7\times 10^61.7×106个纽结，包含最多16个交叉，取自Regina census。
- SnapPy的random_link函数生成的约10610^6106个拥有80个交叉的随机纽结图。由于随机纽结生成可能导致重复，我们对每个纽结图计算大量的不变量，并删除与之前样本具有相同不变量的任何样本，因为它们很可能以非常高的概率代表同一个纽结。
- 纽结由于某些辫的结扎而产生的纽结。与前两个数据集不同，这里产生的纽结在任何意义上都不是通用的。相反，它们是专门用来反驳猜想1的。我们用的辫子是4个(n = 11756)，5辫子(n = 13,217)和6辫子(n = 10,897)。在标准发电机σi对于这些编织组，编织选择为σ σ σ(…)在N kk 11 22。ij的整数被均匀地随机选择为合适的编织组。权力新泽西在[−10，−3]和[3,10]范围内均匀随机选取。最后的力量N均匀地选择在1到10之间。
对于上述数据集，我们计算了一些代数和几何纽结的不变量。不同的数据集涉及计算其中不同的子集，取决于它们在形成和研究主要猜想中的作用。每个数据集都包含以下不变量列表中的一个子集：signature, slope, volume, meridional translation, longitudinal translation, injectivity radius, positivity, Chern–Simons invariant, symmetry group, hyperbolic torsion, hyperbolic adjoint torsion, invariant trace field, normal boundary slopes and length spectrum including the linking numbers of the short geodesics.（机翻：签名、斜率、体积、经向平移、纵向平移、注入性半径、积极性、Chern-Simons不变量、对称群、双曲扭转、双曲邻接扭转、不变量迹场、法线边界斜率和长度谱，包括短测地线的连接数。）
在我们的数据生成过程中，SnapPy对随机生成的纽结的典型三角的有0.6%到1.7%的概率计算失败。在较小的纽结上，注入性半径的计算在2.8%的时间内失败，而在具有较多交叉点的纽结的数据集上则在7.8%的时间内失败。在Regina数据集中多达16个交叉点的结上，5.2%的情况下注入性半径计算失败。偶尔的失败可能发生在大多数的不变式计算中，在这种情况下，对于所要求的纽结的其余不变量的计算会继续进行。此外，由于一些不变量的计算复杂度很高，如果一个不变量的计算时间超过5分钟，操作就会超时。这是一个灵活的约束，最终是一种权衡，我们只用于对我们的分析不重要的不变量，以避免偏离结果。
【未翻完，真心看不懂，看原文吧】
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