1. 引言

地震数据可以反映出一系列地下观测点的信息。单炮数据仅能对地下观测点提供一次覆盖的振幅数据，多炮数据则可以为地下观测点提供多次覆盖的振幅数据。剩余静校正可以通过对道集数据进行优化，增强道集数据有效信号的同相性，提高叠加数据信噪比。静校正可以将数据进行向上/向下位置微调，调整后再叠加，有效提高叠加质量。
图1. 静校正
如图1所示，静校正效果好时，结果信噪比高，直观表现为图像更清晰。

2. 基础知识

定义1. 一对<炮点, 检波器> 获得的数据，反映了炮点与检波器中间位置垂直方向的地质信息。该数据称为一个道（trace），可表示为 nnn维实数向量，其中每个分量表示相应时间（可换算为深度）的振幅。
定义2. 对应于同一地理位置的 kkk个道组成一个道集（trace set），可表示为 n×kn \times kn×k的矩阵。
一般情况下，一个道集中的不同道，是通过不同炮点、检波点获得的。
为获得一个地质剖面，应采集不同位置的数据，这些数据组成了一个三维矩阵
V=(vlij)d×n×k,(1)\mathbf{V} = (v_{lij})_{d \times n \times k}, \tag{1}V=(vlij)d×n×k,(1)
其中 ddd表示观测的位置数，nnn表示每道的长度，kkk表示每个道集所含的道数。
在实际应用中，不同的道集可能有不同的列数（道数）。简便起见，理论上我们忽略这种差别。

3. 局部静校正

局部静校正仅考虑一个道集内部的优化。

3.1 问题描述

问题1：局部静校正
输入：第lll个道集Vl=(vlij)n×k\mathbf{V}_l = (v_{lij})_{n \times k}Vl=(vlij)n×k；
输出：校正量向量A=(a1,…,ak)\mathbf{A} = (a_1, \dots, a_k)A=(a1,…,ak)；
优化目标：
max⁡A∑i=1n(∑j=1kvl,i+aj,j)2(2)\max_\mathbf{A} \sum_{i = 1}^n \left(\sum_{j = 1}^k v_{l, i + a_j, j}\right)^2 \tag{2}Amaxi=1∑n(j=1∑kvl,i+aj,j)2(2)
约束条件：∀1≤j≤k\forall 1 \leq j \leq k∀1≤j≤k, ∣aj∣≤c|a_j| \leq c∣aj∣≤c，其中 ccc为一个常数如3.

3.2 问题分析

每个道可以浮动的方式有 2c+12c + 12c+1种，kkk个道导致的组合数为 (2c+1)k(2c + 1)^k(2c+1)k。优化目标值的计算量为 O(nk)O(nk)O(nk)，因此总体时间复杂度为
O(nk(2c+1)k)(3)O(nk(2c + 1)^k) \tag{3}O(nk(2c+1)k)(3)
看起来不小。

一个道集有kkk个需要优化的变量，ddd个道集就有 dkdkdk个需要优化的变量。另一方面，假设有 mmm炮，每炮有 ppp个检波器起作用，需要优化的变量个数也可写为 pmpmpm. 按理说应该有
dk=pm(4)dk = pm \tag{4}dk=pm(4)

3.3 解决方案

解决方案1：穷举法。

在 kkk不大（如5以内）可行。

解决方案2：简单逐道调整法。

Step 1. 将第1道设置为基准；
Step 2. for i = 2 to k do
Step 2.1 for j = -c to c do
Step 2.1.1 将第 i道浮动 j后与基准道相加，获得临时基准道
Step 2.1.2 if 临时基准道数据平方比原来的大，cm = c
Step 2.2 将第 i道浮动 cm后，与基准道相加，获得新的基准道

方案分析：本方案的时间复杂度很低，只有
O(nkc)(5)O(nkc) \tag{5}O(nkc)(5)
当然，也可能效果不好。只有做了才知道。

解决方案3：贪心逐道调整法。

Step 1. 从道集中，首先挑选一个比较合适的道。有很多策略，如：随机挑选，与平均值最接近的道，信噪比最大的道。
Step 2. 从剩下的道中，挑选一个最大化目标函数的道。这个目标函数只考虑当前已经选择的道。

方案3有不少的设计与优化空间。

4. 基于炮点与检波器的静校正

由于勘探行业的坚持，需要优化的参数并非(4)式中的 dkdkdk或 pmpmpm，根据炮点和检波器确定。
令炮点的校正量向量为 B=(b1,…,bm)\mathbf{B} = (b_1, \dots, b_m)B=(b1,…,bm), 检波点的校正量向量为 C=(c1,…,cw)\mathbf{C} = (c_1, \dots, c_w)C=(c1,…,cw)。如果某一道的数据来自于第 α\alphaα个炮点和第 β\betaβ个检波器，则其校正量应为 bα+cβb_{\alpha} + c_{\beta}bα+cβ.

4.1 问题描述

问题2：基于炮点与检波器的静校正
输入：V=(vlij)d×n×k\mathbf{V} = (v_{lij})_{d \times n \times k}V=(vlij)d×n×k，从数据道向炮点的映射 f:[1..d]×[1..k]→[1..m]f: [1..d] \times [1..k] \rightarrow [1..m]f:[1..d]×[1..k]→[1..m]；从数据道向检波器的映射 g:[1..d]×[1..k]→[1..p]g: [1..d] \times [1..k] \rightarrow [1..p]g:[1..d]×[1..k]→[1..p]；
输出：炮点的校正量向量为 B=(b1,…,bm)\mathbf{B} = (b_1, \dots, b_m)B=(b1,…,bm), 检波点的校正量向量为 C=(c1,…,cw)\mathbf{C} = (c_1, \dots, c_w)C=(c1,…,cw)；
优化目标：
max⁡B,C∑l=1d∑i=1n(∑j=1kvl,i+bf(l,j)+cg(l,j),j)2(6)\max_{\mathbf{B}, \mathbf{C}} \sum_{l = 1}^d \sum_{i = 1}^n \left(\sum_{j = 1}^k v_{l, i + b_{f(l, j)} + c_{g(l, j)}, j}\right)^2 \tag{6}B,Cmaxl=1∑di=1∑n(j=1∑kvl,i+bf(l,j)+cg(l,j),j)2(6)
约束条件：∀1≤j≤m\forall 1 \leq j \leq m∀1≤j≤m, ∣bj∣≤c|b_j| \leq c∣bj∣≤c; ∀1≤j≤w\forall 1 \leq j \leq w∀1≤j≤w, ∣cj∣≤c|c_j| \leq c∣cj∣≤c，其中 ccc为一个常数如3.

注：f(l,j)f(l, j)f(l,j)表示第 lll个道集中，第 jjj个道由来自于哪个炮点；g(l,j)g(l, j)g(l,j)表示第 lll个道集中，第 jjj个道由来自于哪个检波器。

4.2 问题复杂度分析

与问题1相比，优化的参数个数增加了，为 m+wm + wm+w. 假设它们的取值范围为 [−b,+b][-b, +b][−b,+b], 例如 b=10b = 10b=10. 我们直接将方案编码成长度为 m+wm + wm+w 的向量. 问题的解空间大小为 (2b+1)m+w(2b + 1)^{m+w}(2b+1)m+w, 因此穷举算法不可行.
更要命的是, 对每种方案, 都要把三维的V\mathbf{V}V拿来算. 这个事情好像不可避免.

4.3 解决方案

解决方案1: 从局部到全局

Step 1. 通过局部静校正获得 dk=pmdk = pmdk=pm个局部校正量 R=(rlj)d×k\mathbf{R} = (r_{lj})_{d \times k}R=(rlj)d×k。
Step 2. 令在函数 fff的帮助下，建立含m+wm + wm+w个变量，dkdkdk个方程的超定方程组
rlj=bf(l,j)+cg(l,j),r_{lj} = b_{f(l, j)} + c_{g(l, j)},rlj=bf(l,j)+cg(l,j),
其中1≤l≤d1 \leq l \leq d1≤l≤d, 1≤j≤k1 \leq j \leq k1≤j≤k, 1≤f(l,j)≤m1 \leq f(l, j) \leq m1≤f(l,j)≤m, 1≤g(l,j)≤w1 \leq g(l, j) \leq w1≤g(l,j)≤w.
Step 3. 为解此超定方程组，建立优化目标
min⁡B,C∑1≤l≤d,1≤j≤k∣rlj−bf(l,j)+cg(l,j)∣2(7)\min_{\mathbf{B}, \mathbf{C}} \sum_{1 \leq l \leq d, 1 \leq j \leq k} \left| r_{lj} - b_{f(l, j)} + c_{g(l, j)} \right|_2 \tag{7}B,Cmin1≤l≤d,1≤j≤k∑∣∣rlj−bf(l,j)+cg(l,j)∣∣2(7)
其中2范数可以换为0范数、1范数等。特别是0范数，表示了多少个方程需要调整。

方案分析
该方案有两个主要问题：

优化(7)式不能保证优化(6)式；
多达 m+wm + wm+w个变量，不过每个方程都只涉及两个变量。

解决方案2: 遗传算法

遗传算法的关键在于输出方案的编码。根据式 (6), 共有 m+wm + wm+w 个参数，假设它们的取值范围境外为 [−b,+b][-b, +b][−b,+b], 例如 b=10b = 10b=10. 我们直接将方案编码成长度为 m+wm + wm+w 的向量. 根据每个方案, 可以根据式 (6) 计算其 fitness function.
至于选择、交叉、变异操作，参见一般的遗传算法.
优点: 输出方案的编码方便, fitness function 定义良好.
缺点 1: fitness function 的计算非常耗时. 但这一缺点好像无法克服.
缺点 2: 每换一个区域, 就需要用遗传算法运行一遍. 无法获得一个模型, 对不同的区域有效.
缺点 3: 收敛很慢. 需要想抓住静校正的特点，进行加速.

遗传算法加速方案

可以借鉴拼图游戏，先找到一些参数的解，并将其固定住. 然后再寻找其它参数的解. 这种方案, 越到后面越容易. 同时保证了收敛性.
常见的遗传算法, 应该没有这种技术.

5. 疑问

校正量均为整数吗？
是否可以强行用深度学习来做？
是否可以获得一个模型, 对不同区域有效? (目前认为不可行)

令人头秃 …

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