一、概率论数理统计常见的统计量Python实现总结

1、求数学期望

#coding=utf-8

importnumpy asnp

arr = [1,2,3,4,5,6]

#1、数学期望(俗称平均值)

num_avg = np.mean(arr)

print(num_avg)

2、求方差、标准差

#coding=utf-8

importnumpy asnp

arr = [1,2,3,4,5,6]

# 求方差

num_var = np.var(arr)

print(num_var)

# 求标准差

num_std = np.std(arr,ddof=1)

print(num_std)

3、求协方差

#coding=utf-8

importnumpy asnp

#求协方差

x=np.array([[1 ,2 ,3] ,

[2 ,5 ,6 ],

[ 7 ,8 ,9],

[ 11 ,11 ,12]])

cov_xy = np.cov(x)

print(cov_xy)

二、求相关系数的Python实现总结

1、公式法

#coding=utf-8

importnumpy

importpandas

X = [1,2,3,4,5]

Y = [1.01 , 2.02 , 3.03 ,4.04 , 5.05]

# 均值

XMean = numpy.mean(X)

YMean = numpy.mean(Y)

#标准差

XSD = numpy.std(X)

YSD = numpy.std(Y)

#z分数

ZX = (X-XMean)/XSD

ZY = (Y-YMean)/YSD#相关系数

r = numpy.sum(ZX*ZY)/(len(X))

print(r)

2、通过numpy的corrcoef方法计算相关性系数

#coding=utf-8

importnumpy

X = [10.11, 20.11, 33.11]

Y = [10.22, 20.22, 30.22 ]

t=numpy.corrcoef(X,Y)

print(t)

3、通过pandas的corr方法计算相关性系数

#coding=utf-8

importnumpy

importpandas

X = [10.11, 20.11, 33.11]

Y = [10.22, 20.22, 30.22 ]

data = pandas.DataFrame({'X':X,'Y':Y})

t2=data.corr()

print(t2)

三、常见的分布Python实现总结

1、正太分布

正态分布是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值。正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2 。

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

mu = 0 # mean

sigma = 1 # standard deviation

x = np.arange(-3, 3, 0.1)

print(x)

y = stats.norm.pdf(x, 0, 1)

print(y)

plt.plot(x, y)

plt.title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f'% (mu, sigma))

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('Probability density', fontsize=15)

plt.show()

2、指数分布

指数分布是一种连续概率分布，用于表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

我将参数λ设置为0.2，并将x的取值范围设置为 $[1, 10]$ 。

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

lambd = 0.2

x = np.arange(1,10,0.1)

y =lambd * np.exp(-lambd *x)

print(y)

plt.plot(x, y)

plt.title('Exponential: $\lambda$=%.2f'% (lambd))

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('Probability density', fontsize=15)

plt.show()

3、二项分布

某射手射击，射击结果分为中靶和不中靶两种，若每次射击相互独立，中靶的概率皆为0.7，讨论在4次射击中恰好2次中靶的概率(0.2646)

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

p = 0.7 # 事件A概率0.7

n = 4 # 重复实验4次

k = np.arange(n+1) # 5种可能出现的结果(中0次、中1次、中2次、中3次、中4次)

r = stats.binom.pmf(k, n, p)

print(r)

4、泊松分布(Poisson Distribution)

一个服从泊松分布的随机变量X，表示在具有比率参数(rate parameter)λ的一段固定时间间隔内，事件发生的次数。参数λ告诉你该事件发生的比率。随机变量X的平均值和方差都是λ。

E(X) = λ, Var(X) = λ

泊松分布的例子：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生4次事故的概率是多少？

让我们考虑这个平均每天发生2起事故的例子。泊松分布的实现和二项分布有些类似，在泊松分布中我们需要指定比率参数。泊松分布的输出是一个数列，包含了发生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用结果生成了以下图片。

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

rate = 2

n = np.arange(0, 10)

y = stats.poisson.pmf(n, rate)

print(y)

plt.plot(n, y, 'o-')

plt.title('Poisson: rate=%i'% (rate), fontsize=15)

plt.xlabel('Number of accidents')

plt.ylabel('Probability of number accidents', fontsize=15)

plt.show()

5、T分布

t分布形状类似于标准正态分布； t分布是对称分布，较正态分布离散度强，密度曲线较标准正态分布密度曲线更扁平

(1)T分布的应用场景：

- 根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值

- 对于任何一种样本容量，真正的平均值抽样分布是t分布，因此，当存在疑问时，应使用t分布

- 当样本容量在 30-35之间时，t分布与标准正态分布难以区分

-当样本容量达到120时，t分布与标准正态分布实际上完全相同了

-

(2)自由度df对分布的影响

-- 样本方差使用一个估计的参数(平均值)，所以计算置信区间时使用的t分布的自由度为 n - 1

-- 由于引入额外的参数(自由度df)，t分布比标准正态分布的方差更大(置信区间更宽)

-- 与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高

-- 自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df= ∞ 时，t分布曲线为标准正态分布曲线

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

# 不同自由度的学生t分布与标准正态分布

importnumpy asnp

fromscipy.stats importnorm

fromscipy.stats importt

importmatplotlib.pyplot asplt

print('比较t-分布与标准正态分布')

x = np.linspace( -3, 3, 100)

plt.plot(x, t.pdf(x,1), label='df=1')

plt.plot(x, t.pdf(x,2), label='df=20')

plt.plot(x, t.pdf(x,100), label = 'df=100')

plt.plot( x[::5], norm.pdf(x[::5]),'kx', label='normal')

plt.legend()

plt.show()

6、 β分布(Beta Distribution)

β分布是一个取值在 [0, 1] 之间的连续分布，它由两个形态参数α和β的取值所刻画。

β分布的形状取决于α和β的值。贝叶斯分析中大量使用了β分布。

#coding=utf-8

importnumpy asnp

fromscipy importstats

importmatplotlib.pyplot asplt

a = 0.5

b = 0.5

x = np.arange(0.01, 1, 0.01)

y = stats.norm.pdf(x, a, b)

print(y)

plt.plot(x, y)

plt.title('Beta: a=%.1f, b=%.1f'% (a, b))

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('Probability density', fontsize=15)

plt.show()

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《大数据和人工智能交流》的宗旨

1、将大数据和人工智能的专业数学：概率数理统计、线性代数、决策论、优化论、博弈论等数学模型变得通俗易懂。

2、将大数据和人工智能的专业涉及到的数据结构和算法：分类、聚类 、回归算法、概率等算法变得通俗易懂。

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