Event-triggered MPC Design for Distributed Systems With Network Communications

Abstract：

1）解决问题：分布式系统中的通信问题，其中无线网络中电池电量有限以及在节点间冗余传输（redundant transmission）

2）提出方法：ET-MPC

目的：在保证系统性能的同时减少不必要的通信

一方面，对于线性离散时不变系统，基于李雅普诺夫稳定性推导了触发条件。这里，为了进一步降低通信速率，我们仅当Lyapunov函数在最后一次触发时超过其值时才强制执行触发条件，但保证平均降低。

另一方面，通过最小化和优化最大控制不变集和目标终端集之间的终端约束集，保证了算法的可行性。最后，通过仿真验证了理论结果。结果表明，该策略在闭环系统性能和通信速率之间取得了良好的平衡。

I. INTRODUCTION、

1)无线网络与分布式控制相结合对控制设计是challenge发现问题：

（1）分布式系统中每个局部控制器不仅基于自身的信息，而且基于他人共享的信息来决定其当前的控制行为，以提高整体性能。动态交互导致大量信息通过网络传输，尤其是在使用迭代算法[1]，[2]时。增加了对网路的需求。

（2）电池供电有限、带宽有限的无线节点无法承受大规模传输负载，可能导致网络中断，导致系统性能下降

节点之间的数据传输比处理的能耗高得多，接收和空闲状态下的能量消耗与传输中的能量消耗具有相同的数量级[3]。

2）思路idea：设计保证性能的同时降低通信速率

对比传统MPC是时间触发、周期性的；ET-MPC发生事件才执行任务，优点：避免了不必要的通信，实现了系统性能和资源利用率之间的良好平衡

3）作者介绍一下都读了啥相关论文：

事件触发控制（ET）：

[4] W. P. M. H. Heemels, K. H. Johansson, and P. Tabuada,“An introduction to event-triggered and self-triggered control,” in Proc. 2012 IEEE 51s Annu. Conf. Decision and Control, Maui, USA, 2012, pp. 3270−3285.
[5] T. F. Liu and Z. P. Jiang,“A small-gain approach to robust event-triggered control of nonlinear systems,” IEEE Trans. Automat. Control,vol. 60, no. 8, pp. 2072−2085, Aug. 2015.非线性连续系统的小增益定理，提出了一种设计触发条件的新方法（有空看看）
[6] T. F. Liu and Z. P. Jiang,“Event-based control of nonlinear systems withpartial state and output feedback,” Automatica, vol. 53, pp. 10−22, Mar.2015.

。。。

ET-MPC：

[13] Y. Iino, T. Hatanaka, and M. Fujita,“Event-predictive control for energy saving of wireless networked control system,” in Proc. American Control Conf., St. Louis, USA, 2009, pp.2236−2242.
[14] W. K. Wojsznis, T. Blevins, and M. J. Nixon,“Model predictive controlwith event driven operation,” in Proc. 2015 Int. Conf. Event-basedControl, Communication, and Signal Processing, Krakow, Poland, 2015,pp. 1−6.
[15] D. Bernardini and A. Bemporad,“Energy-aware robust model predictivecontrol based on noisy wireless sensors,” Automatica, vol. 48, no. 1, pp.36−44, Jan. 2012.
[16] H. P. Li and Y. Shi,“Event-triggered robust model predictive controlof continuous-time nonlinear systems,” Automatica, vol. 50, no. 5, pp.1507−1513, May 2014.
[17] K. Hashimoto, S. Adachi, and D. V. Dimarogonas,“Distributed aperiodicmodel predictive control for multi-agent systems,” IET Control TheoryAppl., vol. 9, no. 1, pp. 10−20, Jan. 2015.
[18] D. Groß,“Distributed model predictive control with event-based communication,” Ph.D. dissertation, Kassel Univ. Press GmbH, Kassel, 2015.

4）作者说明一下，做ET和context of networked control systems （CNCC）挺多的，没有ET-MPC和CNCC相结合的。

研究对象是线性时不变智能体和合作目标组成的受限分布式系统中的通信问题

采用ET-MPC策略，不仅可以降低传输频率，还可以处理系统约束和多目标

5）本文工作内容：

（1）基于李雅普诺夫稳定性分析，给出了离散时间线性系统的触发条件。

为了尽可能减少触发时间，只有当Lyapunov函数超过上次更新时的值时，才会发生事件和传输，并且它可能会在几次内增加，但为了稳定系统，可以保证平均减少

（2）我们优化并最小化最大控制不变椭球集中的终端约束集，以扩展可行区域；只要初始状态可行，稳定性就有保证。

6）文章组织结构：

第二节介绍了基本的事件触发MPC策略。

第三节中，我们提出了一个事件触发条件，并为分布式系统设计了一个事件触发的MPC策略，以减少频繁的通信。第三节还对其可行性和稳定性进行了分析。

第四节的理论结果进行了仿真验证。

第五节给出了本研究的结论和未来方向。

注：*：对称矩阵中的对称项； || · || :向量的欧式范数、矩阵的诱导范数

II. BASIC EVENT-TRIGGERED MPC STRATEGY

离散线性系统：

假设了（Ai，Bi）可控、（Ai，Ci）可观

图1.无线网络中基于事件的MPC结构;其中Ai是actuator（执行器）、Si是sensor（传感器）、ri是第i个Agent中的最后触发时间、{xi(ri), xi(ri + 1|ri), . . . , xi(ri + N |ri)}该序列是在更新时间 ri 发送给其邻居的信息、虚线表示节点间的无线通信信道

At time step k,无线传感器节点在第i个agent测量值Xi(k)给他的控制器，

传输条件：当且仅当其中εi（deviation threshold偏差阈值）> 0、

对当前状态的预测

然后，第i个智能体解决一个局部合作的最优问题（2），以确定其当前的控制行为，并将相应的预测状态轨迹传输给其邻居。

最优问题（2）：

阈值εi是该方法的一个关键调节旋钮，因为它在无线信道上权衡了系统性能和通信速率。

III. EVENT-TRIGGERED MPC ALGORITHM DESIGN、

李亚普诺夫稳定分析提供了触发条件，在此基础上，提出了一种扩展可行域的改进方案。

Assumption 1：状态函数Li(xi, ui)是Lipschitz连续在Xi×Ui，即∀x1i ∈ Xi and x2i ∈ Xi,∃LQi > 0

Lipschitz连续https://baike.baidu.com/item/%E5%88%A9%E6%99%AE%E5%B8%8C%E8%8C%A8%E8%BF%9E%E7%BB%AD/12637342?fr=aladdin#2Assumption 2：

Assumption 3：

A. Triggering Condition Design

定义序列{ri}（ri∈ N）作为优化问题需要解决的时刻。

在触发时间ri,最优控制序列

和最优状态序列

如果在时间ri+m没有触发事件，则采取（3）中的当前控制动作；否则，通过解决优化问题（2）来更新控制动作 .

所设计的控制轨迹与状态无关在时间ri和ri+m-1之间的，因此，该机制可以扩展为自触发公式，以避免持续监控状态。

Lemma 1:假设1-6成立，则在ri时刻ith agent 的优化问题（2）解决，the minimal index是

为在构造的可行控制行为（3）下的性能

proof（看不懂。。。。）：首先证明不等式（4），然后用同样的程序证明不等式（5）

首先，假设在时间ri和ri+t之间没有收到来自其邻居的信息，因此，其neighbors的未来状态都是基于这些状态同时预测的。然后计算当前时间和最后触发时间的成本函数之间的性能差异

（4）没有从neighbors得到信息

小结：通过总结不等式（7）、（10）和（11），性能指标之间的差异是有界的，这就完成了不等式（4）的证明。总结不等式（7）、（10）和（12），证明了不等式（5）。

触发条件（13）和（14）就像一个开关，用于确定传感器是否向控制器发送当前信息，并检查相邻代理是否相互交换信息。

在初始时刻，传感器将系统状态传输给控制器；相邻Agent相互交换状态，去计算控制序列和预测的状态轨迹。
然后，触发检查设备存储从控制器接收的预测状态。
下一次，传感器测量当前状态并检查状态（13）和（14）。满足（13）或（14），状态被发送到控制器，问题（2）被解决，然后更新的信息被发送到其邻居。否则，该测量将被丢弃，传感器将等待下一次采样。设备的控制动作输入仍然是上一次触发时的预测控制（对应CONCLUSION中：但被强制不得超过上次触发时的值）。
然后将horizon移动到下一个采样时间，并重复上述过程

remark2：触发条件（13）或（14）由第i个代理基于其当前状态、预测状态及其相邻预测状态进行验证。这可以看作是一种分布式触发条件。当邻域中的触发条件满足时，局部控制器可能无法解决最优问题。

Remark 3:

Remark 4:

B. Improved Event-triggered MPC

由于预测状态的精度随视界长度而降低，因此不需要过大的预测视界。虽然速度有所提高，但预测时间短的MPC可能会导致不可行性。还需要注意的是，由于约束或干扰，上述事件触发MPC方案的最优解可能不可行。考虑到这些问题，我们采用[19]中一系列渐近稳定不变椭球的方法来扩展可行域。不同之处在于，当状态对最优问题（2）不可行且终端惩罚矩阵Pi固定时，我们只优化和最小化终端约束集。

[19] B. Pluymers, J. A. K. Suykens, and B. De Moor,“Min-max feedback MPC using a time-varying terminal constraint set and comments on ‘Efficient robust constrained model predictive control with a time-varying terminal constraint set’,” System & Control Letters, vol. 54,no. 12, pp. 1143−1148, 2005

具体来说，我们首先设置一个目标终端集，并计算最大控制不变椭球集Φi（⊂Φi），Φi和都满足假设3和4。解决以下最小化问题以控制终端状态预测（在中）

如果初始状态对Φi是可行的，则状态始终可以控制到具有此优化问题的终端集，参见[19] 。因此，可以始终确保可行性，并扩展可行区域。

触发条件的设计类似于（13）和（14）。以第i个子系统为例，每个子系统的整体控制策略可描述为Algorithm 1（算法1）。

Algorithm 1 Improved Event-triggered MPC

注5：如果子系统中的控制器是同步触发的，我们采用迭代算法来实现 agent negotiation.

注6：只有当本文中问题（2）没有可行解时，才用最优问题（15）解决。如果问题（2）在实现中被具有相同参数的问题（15）替换，则触发时间小于使用问题（2）的触发时间，但成本值相对较大。（优化问题(15)比(2)鲁棒性更强（个人理解)）

C. Stability Analysis

在本节中，将给出所提出控制策略进行可行性和稳定性分析。为了确保在发生事件时，存在满足所有约束的解，并给出了可行性分析。然后，证明了闭环系统是Lyapunov稳定的。

Theorem 1：考虑由（1）描述的系统，假设假设1−6保持，控制动作由算法1生成，具有触发条件（13）和（14）。我们发现，只要初始状态是可行的，系统状态就会在有限时间内收敛到终端集。

Proof: 本文在测量当前状态后，对状态预测轨迹进行评估。

如果预测范围上的预测状态超过了终端集，我们则解决最优问题（15）。

然后，我们可以基于k处基于最优解（参见（3））构造一个可行的控制序列，从而使最优终端集递归地接近目标终端集。

因此，控制策略总是可行的。

在触发时间ri时，the cost function为，在时刻ri+l，基于触发条件（13）和（14），feasible input对应的the cost value满足，则系统在有限时间内收敛到终端集（稳定性）。

D. Selection of the Parameters

该算法中有许多参数对系统性能有显著影响。本部分提供了选择指南。

1）优化问题中的参数：众所周知，预测范围N可以权衡系统的稳定性和快速性，也可以作为本文中的最大触发间隔。众所周知，预测视界N可以权衡系统的稳定性和快速性，也可以作为本文中的最大触发间隔。因此，选择的预测范围N不能过大。这里的控制视界等于预测视界。此外，加权矩阵Qi，Qij，Ri是对称正定矩阵。这些矩阵中的元素越多，得到的相应最优变量越小。因此，可以根据实际需求选择这些矩阵。选择的矩阵Pi和反馈控制增益Kfi应确保假设3和4成立，并可通过线性矩阵不等式概念获得[20]。

参考文献：[20] D. V. Dimarogonas and K. J. Kyriakopoulos,”Event-triggered strategies for decentralized model predictive control”, in Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milano, Italy: IEEE, 2011, pp. 10068-10073

2）假设1−5中的参数: 首先，σi表示初始可行集的范围，在目标终端集中表示系统的最终收敛，越小，系统状态越接近期望点。详细地说，在选择目标终端集之后，我们可以使用the i-step controllable set[21]来获得σi。

参考文献[21] K. Hashimoto, S. Adachi, and D. V. Dimarogonas,“Distributed aperiodic model predictive control for multi-agent systems,” IET Control Theory& Applications, vol. 9, no. 1, pp. 10−20, 2015.

然后，用试算法计算LQi、Liqx、Liqxa、Lfi、Kfi。

触发条件中的设计参数βi 范围为（0,1）。它对系统稳定性和通信速率之间的权衡有重大影响。条件（13）和条件（14）的βi越小，通信越频繁，但系统性能越好。

V. CONCLUSION

针对由线性离散时不变代理组成的分布式系统，提出了一种事件触发的MPC设计算法。我们首先描述了基本的事件触发MPC控制策略，然后基于Lyapunov稳定性分析提出了一个触发条件，旨在大幅减少无线网络上的通信。提出的条件导致Lyapunov函数非单调下降，但被强制不超过上次触发时的值。它不同于李雅普诺夫函数连续下降的另一种方法。然后通过动态调整终端集来扩展可行域，并给出了基于此的控制算法。仿真结果验证了该策略的有效性。

在未来的研究中可能会开发自触发方案，以减少空闲状态，并保持节点处于睡眠模式，直到需要传输。我们将在使用事件触发机制的迭代算法中提出不同的终端标准。

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