矩阵可逆的条件以及特征值、特征向量与可对角化条件
矩阵可逆的条件:
1 秩等于行数
2 行列式不为0,即|A|≠0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 齐次线性方程组AX=0 仅有零解
6 非齐次线性方程组AX=b 有唯一解
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵,即该矩阵等价于n阶单位矩阵
8 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
特征值、特征向量与可对角化条件:
定义:设A 是数域F 上n 阶矩阵,如果存在可逆阵 P ,使P -1AP 为对角阵,那么 A 称为可对角化矩阵。
并不是所有的 n 阶矩阵都可对角化,例如, A= 就一定不可对角化,所以我们要首先讨论可对角化的条件。
数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件为存在 n 个数λ1 , λ2 , ... , λn F 及n 个线性无关的向量p1,p2,...,pn,
使APi = λiPi i=1,2, ...,n. 。
数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是 A 有n 个线性无关的特征向量。
特征值与特征向量的性质:
(1 )相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。
(2 )如果λ是矩阵 A 的一个特征值, 是一个多项式,那么 是矩阵多项式 的一个特征值 .
(3 )如果A 是一个可逆阵,λ是 A 的一个特征值,那么, 1 /λ 是A -1 的一个特征值 .
(4 )属于不同特征值的特征向量线性无关。
(5 )对矩阵A 的每个特征值 ,它的几何重数一定不超过代数重数。
(6 )如果A 是一个是对称矩阵,那么它的每个特征值的几何重数与代数重数相等,从而它有个线性无关的特征向量,他一定可以对角化。
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