[转载]做数学是倒过来的(林群)

做数学是倒过来的——在2009年“翱翔计划”启动会上的科学家报告

中国科学院院士、北京青少年科技创新学院顾问林群

人为什么要学数学呢？因为数学是语言——交流的语言。我们首先得会说中国话，走向世界还需要英语，此外还需要第三种语言——数学。数学是科学技术的语言，因为数学语言非常精确，非常可靠。一般我们说的话可以商量，可能还会有争议，但数学是不可以商量的。例如：大学生的辩论会。“公说公有理，婆说婆有理”，没有办法分辨是非，但数学的是非标准是非常明确的。比如：我们学平面几何，三角形内角和等于多少呢？没错，180度。这是能商量的吗？是不能商量的。而且我们深信这一点，因为我们能够看到一步一步的证明。数学是非常严格的，没有商量。所有科学，只有数学这门学科有这个特点，所以，我们不得不学数学。如果不学数学的严格推理，我们就没有机会进行任何严格意义上的研究。但是，数学发明的过程可不是严格的，都是先通过猜想、做实验慢慢形成，然后再运用严格的逻辑推理加以验证。

　　我先讲“数学的思维”，然后讲“数学的用处”。

　　一、数学的思维

　　数学可以倒过来想。我最喜欢讲的一个例子是笛卡尔的方法。大家都知道，笛卡尔是解析几何的发明者。他首先是哲学家、思想家。他写的方法论清楚地解释了科学的方法应该是什么样的，发明的方法应该是什么样的。大部分数学家都不这么做，因为大部分数学家对自己的发明过程都会保密。例如：高斯，是一个很有名的数学家，被称为数学“天才”、“神童”。他一生发明了很多数学定理，发明了许多数学的概念和公式，我们都不理解这个人是怎么想出来的。确实有些历史学家查阅过他的日记，从日记中才知道，高斯的每一个发现和发明都做了大量的实验、大量的猜测、大量的演算，最后用定理表示出来。但他把这些计算过程、演算过程、发现过程统统都拿掉了。历史学家的结论是，高斯是一只狡猾的狐狸，用它的尾巴扫掉了行进的足迹。大部分数学家都是高斯这样的。

　　现在你看数学文章、数学书都是这样的情况。首先给个数学定义、定理，然后证明定义、定理是怎么来的。为什么会这样？因为我们习惯于这种思维方式。其实，发明的过程和思考的过程是相反的，所以我今天讲的是——倒过来想数学问题。

　　我举个例子。大家思考一下这个问题：任意一个四面体的重心在哪儿？笛卡尔说，这个问题太难了，谁能猜出来重心在哪里？笛卡尔的想法是，虽然搞不清楚“任意四面体重心在哪里”，但可以想象将它的一个顶点压低一点，再压低一点，一直压到底面内，四面体就变成了三角形。如果任意四面体的重心不会求，把它压成一个三角形，三角形的重心会求吧？笛卡尔是个很“笨”的人，他说这个我也不会。三角形是各种各样的，有大有小、有胖有瘦。不同形状的三角形重心会在什么地方呢？这个问题笛卡尔不会。但是他想，把三角形的一个顶点往下压，直到把这个顶点压进另一条边内，这样一个三角形就变成了一条线段，笛卡尔又问：一条线段的重心在哪儿？是在中点上。所以你看，笛卡尔他很“笨”。看到一个问题他不懂，就会追根到底，一定要搞个水落石出。当他把任意一个四面体变成一条线段的时候，他说，这个问题我会了，线段的重心是在中点上。用他的话说，这是一个挑扁担的农夫都知道的。如果这个会了，我就知道任意三角形的重心在哪儿了。一个三角形可以认为是由一根一根长短不一的火柴棍摆起来的，每一根火柴棍就是一条线段，由于每根火柴棍的重心都在它的中点上，所以整堆火柴棍组成的三角形的重心就在三角形的中线上。因此笛卡尔就说，一个三角形的重心一定在一条中线上。这个大家同意吧？你看，笛卡尔多“笨”啊，只有这样讲他才懂。然后，他分别以三角形的三条边为底摆火柴棍，就有由火柴棍的重心组成的三条中线。由于三角形的重心是唯一的，因此三条中线必须交于一点。于是，笛卡尔就把这么一个复杂的问题，一下子变成了“一条线段的重心何在”、“一个三角形的重心何在”的简单问题了。事实上，这就已经从直观上发明了“三角形的三条中线交于一点”的定理。

　　这样的证明，我们一辈子都不会忘记。但如果从平面几何公理出发证明，你们刚刚学过能记住，等你们大学毕业，保证就忘光了。笛卡尔的发明方法使你一辈子都能记住，因为你不靠死记硬背。笛卡尔不仅告诉你定义、定理的证明方法，还会告诉你发明的方法。从他的发明，就知道三角形三条中线一定交于一点。这个点就是三角形的重心。而四面体可以被看作是以四面体的一个面为底，由一个一个的三角形向上堆起来的，每个三角形的重心连成了一条线。而分别以四面体的四个面为底面堆三角形，就有四条由重心连成的线。这四条线交在一点上，这个点就是四面体的重心。你看这个问题多简单！原本多复杂的一个问题一下变成了一个多简单的问题了。把一个科学家只有绞尽脑汁才能想出来的问题，变成了一个农夫就能解决的问题。

　　今天“翱翔计划”的这个讲座，不是为了考试用的。我们真正的目的是要为你们一辈子留下“真正的数学”。真正的数学就是要把一个非常复杂的问题变成如此简单的问题，这才是解决问题，才叫做水落石出。所以，笛卡尔最后得出的结论是这样的：碰到任何一个事物都不要直接去承认，都不要直接去接受，除非你挖掘出它里面蕴含着的最基本、最简单的事物，而这些事物是令人深信不疑的，是让人一目了然的，就像“线段的重心在中点”一样，然后把这些简单的事情重新组合在一起而得到复杂的结论，这样得到的结论才是能令人相信的。所以，只有当你们把学到的每一条定理、每一个几何事实，都能像笛卡尔那样，把它变成一个连你们不是搞数学的家长或周围的人都能懂的事情，能给他们讲清楚，你的数学才算学到家了，否则你们只是“半瓶醋”。我们人人都应向笛卡尔学习，把事物分解到如此简单的地步，然后把如此简单的事实重新组合在一起，就会形成一个更复杂的整体——这就是数学的美。我对数学的钦佩就在这里。钦佩是因为数学非常难吗？不是，而是因为数学能把非常复杂的问题变成简单的问题，这才是我最欣赏数学的地方。

　　平面几何最重要的两条定理，一条是三角形内角和定理，一条是勾股定理。它们是怎么发明的？我不是问你是怎么证明的，而是问你能不能用笛卡尔的办法自己发明出来。三角形的内角和为什么等于180度？这个定理非常地令人吃惊。千变万化的三角形里面，有一条不变，内角和或者外角和不变。这是非常了不起的，这说明数学里面各种各样的数据、各种各样的现象，表面上是混乱的，但实际上却有明确的规律。这是一个非常漂亮的规律。我举这些例子就是说明，我们对数学还得深究，我们对数学仍然没有学到真正的东西，我们仍然没有把数学搞得水落石出。我们知道很多结论，甚至我们也记住了怎么证明，但是我们的头脑里面是不是建立起了数学的必然性？其实，“三角形的内角和为什么等于180度？”对我们来说是清楚的，可能有些在座的同学也是清楚的。我只是挑出一些这样的问题来跟大家讨论，今天大家也不可能讨论所有的定理。

　　刚才讲了笛卡尔发现定理“三角形三中线交于一点”的方法。吴文俊恐怕是中国一号数学家，他是全国最高的科技奖的得主。他有一本科普名作，叫做《几何定理的力学证明》，就发展了笛卡尔的例子，他把几何图形的多种交线共点定理（如：三高、三角平分线和三中垂线）都变作了重心问题。

　　平面几何是比较难的，像刚才说的“三角形内角和等于180度”。等到你们大学毕业，你们就把怎么证明这个定理给忘了，很多同学到现在还不知道怎么证明“三角形内角和等于180度”。怎么想到画辅助线的呢？这个实在太巧妙了。我一直希望能写一本关于中学几何的书。我认为，在讨论三角形时，不应该先讨论任意三角形，而应该先讨论直角三角形。直角三角形会了，你们才能说任意三角形会不会。我问大家，直角三角形内角和等于多少？180度。为什么呢？因为两个直角三角形可以拼成一个矩形。矩形的内角和是360度，将矩形沿其对角线一分为二，得出“一个直角三角形的内角和是180度”这个结论。而对任意三角形，我可以从一个顶点做其对边的垂线，把它分成两个直角三角形，它们的内角和都是180度，相加是360度。把这两个直角三角形相邻的两个直角组成的平角去掉，剩下的就是这个任意三角形的内角和180度。于是得出“任意三角形的内角和都等于180度”。这个例子说明：遇到一个问题，不是从任意的复杂情况入手，而是从特殊的、简单的情况切入。照理我们的学习应该是这样：先讲直角三角形，而把任意三角形作为习题让同学自己去思考得出结论，这样会学得更活一点。我希望老师们在讲课时先讲直角三角形，学生做题可以做一些任意三角形的题，这样才能锻炼学生，使学生知道，我们的知识是一步一步发展起来的，不是一下子就做很难的东西。我们开始是做很容易的问题，一步一步越做越复杂，最后大家都能听得懂了。

　　我们学数学的一个方法，就是倒过来看。从最简单的状态做起，一步一步升起来。华罗庚先生曾经说过，做数学要先退，要退到最简单的状况，再升，最后得到一般结论。这个结论才是可靠的，才会记得牢。

　　比如：球面表面积等于多少？公式都有，但为什么这样，能不能猜出来？球这个问题太难了，球是由圆以某一直径为轴旋转形成的。球的表面积是多少？我们退回到最简单的状态。圆的面积会不会？圆的周长会不会？一步一步算下来，最终解决了球的表面积是多少的问题。我们不要看到公式写球的表面积是多少，体积是多少？然后就去证明它。我说的不是这个意思。我们要想它是怎么发明的，没有球体积公式的时候我们怎样发明出来。能不能自己写出来，能不能通过实验，能不能通过最简单的状态，经过它的逐步发展，最终达到书上的结论，这才是中学最好的学习方法。

　　到大学学习球更是这样。大学和中学有什么不一样呢？大学数学非常难，难在什么地方呢？中学学的是“直”的图形，比如直角三角形，当然后面也有讲圆、椭圆，但讲的是特殊的。而大学一般讲“弯”的图形。那么处理弯的怎么办？大学的办法就是把弯的变成直的，弯的一小段很像直的。大学就是把弯的图形切成许多许多小段，每一小段弯由直的来代替。比如：求单位圆的周长是多少。我们不会求弯的，可以把它变成许多内接多边形或外接多边形。多边形的边数越来越多的时候，就变成了圆的，直的是可以求的，最后弯的也能求了。

　　在大学，第一，通常考虑直的图形；第二，按照笛卡尔的办法，弯的不能做，就把弯的切成一小段一小段，用直线连接每一段的头和尾，用这些线段来代替它。在大学，发现用这样的线段代替它误差很大，所以用切线来代替它。切线在大学是一个最基本的概念，中学也学习过切线的概念。比如：圆的切线和抛物线的切线。在大学，还要考虑任意曲线的切线。圆的切线很容易做，你画一个圆的半径，过圆上一点做与半径垂直的直线就是切线。但是任意曲线，你不知道半径在哪儿，怎么画切线呢？切线的概念是大学里最重要的概念。所以笛卡尔这么讲：“我不知道几何里面还有什么比切线更重要的图形。”笛卡儿的一生都在找切线，把任意曲线的切线给找出来。笛卡儿发明解析几何，动机就是在找切线。笛卡儿几何大家都知道，不管什么曲线，通通用代数方程式表达出来。代数好计算，弯的、直的都可以用代数来表达。可以用代数求切线。求切线的过程可以把中学的内容变成微积分了。微积分就是用切线代替曲线。微积分经常是把曲线微分，然后把曲线切成很多很多的小段，每一小段用切线来代替，再把切线段都加起来，这就是微积分。

　　二、数学的用处

　　微积分有什么好处呢？

　　一般我们把弯的东西用切线来代替的时候，我们能做很多以前做不到的事情。比如：我们搞了一次全国人口普查。运用的方法是什么方法呢？逐家逐户登记人口，把全国人口加在一起是12.9亿，可是我们付出的代价很大。我们发动了几亿户的人家算了一年多才统计出来是12.9亿。但如果是用微积分，一个学生几分钟就可以算出来中国人口是多少——13.6亿，与12.9亿差了6.5%，差别很大，但是代价非常不一样。12.9亿是发动几亿户的人花了一年才算出来的，而13.6亿只要一个人花几分钟就算出来了。其实，二者数量级的差别不算太大。可是最后发现12.9亿不对，为什么呢？因为没有算上流动人口，还有虚报的情况，这样肯定算少了。校对以后人口恰好是13.6亿。非常直接，数学“蒙”对了。发动几亿户的人花了一年才统计出来的结果还不如一个学生算几分钟算出来的更准确。所以说微积分的效率特别高，它能算非常非常大的数量。假设我们教室里来多少人要数一数，比如300人，这不太难，不用微积分来算。可是如果来了几亿人就只有微积分才能算。学高等数学能解决无穷多个无穷小的加法问题，所以微积分叫做“无穷小的计算”。

　　微积分不仅对统计人口有用，而且对天气预报也有用。最近天气预报越来越准了，都是用微积分算的。微积分算得快，可以今天预报明天的，不用微积分算的话，可能一万年以后才能预报明天的天气。微积分处理无穷大的数据很厉害。

　　还有一个问题就是核爆炸。通常核爆炸是一个很危险的事情，不能在大城市做，通常要到沙漠去做，然后把人赶出来。在沙漠做，核废料、污染问题都非常严重。现在发达国家反对做大气核试验，因为污染很严重。发达国家的老百姓经常游行，反对大气核试验。那科学家怎么办呢？只能在实验室里面做试验。在实验室里用计算机模拟，算出来的结果跟大气试验的结果差不多，这样就可以避免污染。一开始美国会做这种计算机模拟，所以美国宣布停止大气核实验。但是，印度就反对，因为印度人那时不会用计算机计算。后来大家都会了就都不搞大气试验了。计算机就是利用微积分的道理在计算。所以高等数学对科学技术的发展是非常重要的。

　　我国最高科技奖的得主——吴文俊先生，他在一次演讲中讲到微积分必须进入千家万户。吴先生说，看一个国家的实力就是看谁的微积分好。你们太小可能不会懂得。60年代，前苏联领先发射了卫星、登上了月球，带给美国的震动很大。因为苏联的微积分比美国的好。美国人不会算微积分，他们连加减乘除都不会算。在国外有这样一个故事，有一天超市停电了，收银员不会计算，所以那一天中国人大赚而美国人就大亏血本，就因为美国人不会计算而中国人会。美国人不止是微积分，他们的算术就没过关。为什么说美国的首脑都很担心，现在工作都给印度人、中国人占了，因为他们会计算。美国人都没有人敢要，因为美国人不会计算，一停电就完了，所以美国人一直想学算术。

　　中国人的算术是很好的，当然也不是天生就好，我们训练得太强了，像“奥赛”都是我们拿金牌的，就像牙买加因为有了一个打破世界纪录的博尔特而为人所知，学好数学还可以为我们国家争得荣誉。还有一个例子，我有个学生在美国。美国老师给研究生的考卷出了满分为100分的题，还有额外的20分加分题，我们的学生每次都考120分，美国学生考30分，所以美国的老师不得不把及格线调高。这也是给中国争光了。

　　以上都说明，我们中国人在国际上数学是很好的，很有威信的。现在，中国数学变得很好。前不久科技部公布了一个国际组织统计的世界排名，凡是排在前四名的就是世界水平的，我们的数学就是世界水平的。在厦门刚开了一个国际数学家大会。大会每四年开一次，请一部分人做演讲，能够演讲1小时的，全世界只有20位，都是全世界公认的，或者解决了世界难题，或者开创了新领域的科学家。中国居然有一个，是山东的一位院士，他是改革开放以后才进的大学。他作了1小时的报告，大家都感到非常震动。他说，我真的没有想到，中国这次也能做一个1小时的报告。全世界只有20个数学家可以做1小时的报告，他占了一个。另外还有几百个数学家作报告，中国占6个。这是一个强国！

　　下一代的数学就靠你们这一代了，等到你们这一代就更厉害了。恐怕一个小时的报告不是一个，有可能是有两个。有两个是非常了不起的。几百个作报告的里面可能就不只有6个，可能会有12个。你们要注意把数学学好有没有用？刚才我讲过了，一个是讲天气预报，一个是讲核试验的。还有就是要向牙买加的博尔特学习，创世界纪录、拿奥赛冠军，这就有用，这就能为我们中国争气、争光！陈景润有什么用呢？陈景润自己觉得哥德巴赫的纪录没有什么用，可是世界知道，一个陈景润把哥德巴赫的纪录保留了四年还没有动。所以，陈景润就是数学领域的博尔特，这就为中国争光了。

　　最后我再讲一讲，数学不只对刚才说过的这些有用，对平常人看小说也很有用。大家不相信，看小说还要用到数学吗？大部分小说都需要数学。大部分小说家都不是思想家，只是把故事编在一起，其实没有什么思想。文学界公认的最有思想的作家是托尔斯泰。他的《战争与和平》是最经得起时间的考验的。我问过文学界的人，他们认为中国的文学家与托尔斯泰相比都差得太远了，因为中国的文学家都不是思想家。为什么托尔斯泰这么好？因为托尔斯泰是用微积分写小说的。他的名作是《战争与和平》，这本书文学家都看不懂，因为他的小说都是用微积分写的。文学家只会讲故事，只会讲拿破仑失败了，俄罗斯没有被打败。为什么呢？托尔斯泰说，根据微积分计算的结果，必然是拿破仑要败的。所以说数学是一种准确的文化，托尔斯泰讲，历史学家经常犯错误就是因为他们不懂得微积分。所以你们不要想，念文科就不用念数学。

　　我要向参加“翱翔计划”的同学说，文学也是非常重要的。因为学习数学能提高人的智商，而学习文学能提高人的情商。学习文学能提高情商，是因为文学是一面镜子，可以使人自省。例如：小说里坏人的特点我们可能都有，通过看小说我们就可以看到自己的缺点，反思哪些事情自己做错了。如果一个人只有智商而没有情商，他在一生中就会犯很多错误。比如：一些很好的科学家，他们去搞毒品、搞原子弹、搞武器，害死了很多人，这些科学家没有情商因而成了害群之马。与具有同样智商的人相比，情商好的就会非常有成就，情商差的就会一无所成。很多数学家，一开始非常有才能，但是最后一无所成，就是因为不注意学习文学。所以，我们一定要在有情商的条件下，在学好文科的基础上，学好数学，而不是放弃文科，片面地学习数学。

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