湍流公式推导系列——(一) 不可压湍动能方程的推导与含义

不可压流体的动量方程如式(1)所示，对其进行系综平均，平均后的方程为式(2)，即RANS方程，对式(1)与式(2)做差，得到脉动运动方程 (3)
∂ui∂t+∂uiuj∂xj=−1ρ∂p∂xi+v∂2ui∂xj2(1)\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+\frac{\partial u_{i} u_{j}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_{i}}+v \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j}^{2}} (1) ∂t∂ui+∂xj∂uiuj=−ρ1∂xi∂p+v∂xj2∂2ui(1)
∂uˉi∂t+∂uˉiuˉj∂xj=−1ρ∂pˉ∂xi+v∂2uˉi∂xj2−∂ui′uj′‾∂xj(2)\frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial t}+\frac{\partial \bar{u}_{i} \bar{u}_{j}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_{i}}+v \frac{\partial^{2} \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}^{2}}-\frac{\partial \overline{u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}}}{\partial x_{j}} (2) ∂t∂uˉi+∂xj∂uˉiuˉj=−ρ1∂xi∂pˉ+v∂xj2∂2uˉi−∂xj∂ui′uj′(2)
∂ui′∂t+uˉj∂ui′∂xj+uj′∂uˉi∂xj=−1ρ∂p′∂xi+v∂2ui′∂xj2−∂∂xj(ui′uj′−ui′uj′‾)(3)\frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial t}+\bar{u}_{j} \frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}}+u_{j}^{\prime} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{j}}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x_{i}}+v \frac{\partial^{2} u_{i}^{\prime}}{\partial x_{j}^{2}}-\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}-\overline{u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}}\right)(3) ∂t∂ui′+uˉj∂xj∂ui′+uj′∂xj∂uˉi=−ρ1∂xi∂p′+v∂xj2∂2ui′−∂xj∂(ui′uj′−ui′uj′)(3)
ui′u_{i}^{\prime}ui′与式(3)相乘后系综平均，并定义湍动能(TKE)为
k=12uk′uk′‾=12(u′2‾+v′2‾+w′2‾)(4)k=\frac{1}{2} \overline{u_{k}^{\prime} u_{k}^{\prime}}=\frac{1}{2}\left(\overline{u^{\prime 2}}+\overline{v^{\prime 2}}+\overline{w^{\prime 2}}\right)(4) k=21uk′uk′=21(u′2+v′2+w′2)(4)
则湍动能输运方程为
∂k∂t+uˉk∂k∂xk=−ui′uk′‾∂uˉi∂xk−∂∂xk(1ρp′uk′‾+k′uk′‾−v∂k∂xk)−v∂ui′∂xk∂ui′∂xk‾(5)\frac{\partial k}{\partial t}+\bar{u}_{k} \frac{\partial k}{\partial x_{k}}=-\overline{u_{i}^{\prime} u_{k}^{\prime}} \frac{\partial \bar{u}_{i}}{\partial x_{k}}-\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(\frac{1}{\rho} \overline{p^{\prime} u_{k}^{\prime}}+\overline{k^{\prime} u_{k}^{\prime}}-v \frac{\partial k}{\partial x_{k}}\right)-v \overline{\frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{k}} \frac{\partial u_{i}^{\prime}}{\partial x_{k}}}(5) ∂t∂k+uˉk∂xk∂k=−ui′uk′∂xk∂uˉi−∂xk∂(ρ1p′uk′+k′uk′−v∂xk∂k)−v∂xk∂ui′∂xk∂ui′(5)
其中Pk=−u′iu′k‾∂uˉi∂xk{P_k} = - \overline {{{u'}_i}{{u'}_k}} \frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_k}}}Pk=−u′iu′k∂xk∂uˉi为湍动能生成项，表示了由于剪切作用引起能量从平均动能向脉动动能传递；Dk=∂∂xk(1ρp′u′k‾+k′u′k‾−ν∂k∂xk){D_k} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}\left( {\frac{1}{\rho }\overline {p'{{u'}_k}} + \overline {k'{{u'}_k}} - \nu \frac{{\partial k}}{{\partial {x_k}}}} \right)Dk=∂xk∂(ρ1p′u′k+k′u′k−ν∂xk∂k)为扩散项，表示了湍流的扩散效应； ε=ν∂u′i∂xk∂u′i∂xk‾\varepsilon = \nu \overline {\frac{{\partial {{u'}_i}}}{{\partial {x_k}}}\frac{{\partial {{u'}_i}}}{{\partial {x_k}}}}ε=ν∂xk∂u′i∂xk∂u′i为耗散项，表示由于粘性而引起的湍动能的耗散率。

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