深入理解机器学习——概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：条件随机场（Conditional Random Field，CRF）

条件随机场（Conditional Random Field，CRF）是一种判别式无向图模型，在《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）》中提到过，生成式模型是直接对联合分布进行建模，而判别式模型则是对条件分布进行建模，《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）》和《概率图模型（Probabilistic Graphical Model）：马尔可夫随机场（Markov Random Field，MRF）》介绍的隐马尔可夫模型和马尔可夫随机场都是生成式模型，而条件随机场则是判别式模型。

条件随机场试图对多个变量在给定观测值后的条件概率进行建模。具体来说，若令x={x1,x2,⋯,xn}x=\{x_1, x_2, \cdots, x_n\}x={x1,x2,⋯,xn}为观测序列，y={y1,y2,⋯,yn}y=\{y_1, y_2, \cdots, y_n\}y={y1,y2,⋯,yn}为与之相应的标记序列，则条件随机场的目标是构建条件概率模型P(y∣x)P(y|x)P(y∣x)。需注意的是，标记变量yyy可以是结构型变量，即其分量之间具有某种相关性。例如在自然语言处理的词性标注任务中，观测数据为语句（即单词序列），标记为相应的词性序列，具有线性序列结构，如下左图所示；在语法分析任务中，输出标记则是语法树，具有树形结构，如下右图所示。

令G=(V,E)G=(V, E)G=(V,E)表示结点与标记变量yyy中元素一一对应的无向图，yvy_vyv表示与结点vvv对应的标记变量，n(v)n(v)n(v)表示结点的邻接结点，若图GGG的每个变量yvy_vyv功都满足马尔可夫性，即：
P(yv∣x,yv\{v})=P(yv∣x,yn(v))P(y_v|x,y_{v\backslash\{v\}})=P(y_v|x, y_{n(v)})P(yv∣x,yv\{v})=P(yv∣x,yn(v))

则(y,x)(y, x)(y,x)构成一个条件随机场。

理论上来说，图GGG可具有任意结构，只要能表示标记变量之间的条件独立性关系即可。但在现实应用中，尤其是对标记序列建模时，最常用的仍是下图所示的链式结构，即“链式条件随机场”（Chain-structured CRF）。下面我们主要讨论这种条件随机场。

与马尔可夫随机场定义联合概率的方式类似，条件随机场使用势函数和图结构上的团来定义条件概率P(y∣x)P(y|x)P(y∣x)。给定观测序列xxx，上图所示的链式条件随机场主要包含两种关于标记变量的团，即单个标记变量{yi}\{y_i\}{yi}以及相邻的标记变量{yi−1,yi}\{y_{i-1}, y_i\}{yi−1,yi}。选择合适的势函数，即可得到条件概率定义，在条件随机场中，通过选用指数势函数并引入特征函数（Feature Function），条件概率被定义为：
P(y∣x)=1Zexp⁡(∑j∑i=1n−1λjtj(yi+1,yi,x,i)+∑k∑i=1nμksk(yi,x,i))P(y|x)=\frac{1}{Z}\exp(\sum_j\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_jt_j(y_{i+1}, y_i, x, i)+\sum_k\sum_{i=1}^{n}\mu_ks_k(y_i, x, i))P(y∣x)=Z1exp(j∑i=1∑n−1λjtj(yi+1,yi,x,i)+k∑i=1∑nμksk(yi,x,i))

其中tj(yi+1,yi,x,i)t_j(y_{i+1}, y_i, x, i)tj(yi+1,yi,x,i)是定义在观测序列的两个相邻标记位置上的转移特征函数（Transition Feature Function），用于刻画相邻标记变量之间的相关关系以及观测序列对它们的影响，sk(yi,x,i)s_k(y_i, x, i)sk(yi,x,i)是定义在观测序列的标记位置上的状态特征函数（Status Feature Function），用于刻画观测序列对标记变量的影响，λj\lambda_jλj和μk\mu_kμk为参数，ZZZ为规范化因子，用于确保上式是正确定义的概率。

显然，要使用条件随机场，还需定义合适的特征函数。特征函数通常是实值函数，以刻画数据的一些很可能成立或期望成立的经验特性，以词性标注任务为例，若采用转移特征函数：
tj(yi+1,yi,x,i)={1,if yi+1=[P],yi=[V],xi="learning"0,otherwiset_j(y_{i+1}, y_i, x, i)=\left\{ \begin{aligned} 1 &,\text{if} \ y_{i+1}=[P], y_i=[V], x_i=\text{"learning"}\\ 0 &,\text{otherwise} \end{aligned} \right. tj(yi+1,yi,x,i)={10,if yi+1=[P],yi=[V],xi="learning",otherwise

则表示第iii个观测值xxx为单词“learning”时，相应的标记yiy_iyi和yi+1y_{i+1}yi+1很可能分别为VVV和PPP。若采用状态特征函数：
sk(yi,x,i)={1,if yi=[V],xi="learning"0,otherwises_k(y_i, x, i)=\left\{ \begin{aligned} 1 &,\text{if} \ y_i=[V], x_i=\text{"learning"}\\ 0 &,\text{otherwise} \end{aligned} \right. sk(yi,x,i)={10,if yi=[V],xi="learning",otherwise

则表示观测值xix_ixi为单词learning时，它所对应的标记很可能为VVV。

对比上面两个特征函数可以看出，条件随机场和马尔可夫随机场均使用团上的势函数定义概率，两者在形式上没有显著区别；但条件随机场处理的是条件概率，而马尔可夫随机场处理的是联合概率。

参考文献：
[1] 周志华. 机器学习[M]. 清华大学出版社, 2016.

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