C++最小二乘拟合 (高阶最小二乘拟合)（附C++代码）

配置Eigen矩阵运算库

后续计算需要利用矩阵运算来求解拟合系数，用到Eigen矩阵运算库，配置方法可自行搜索或MacOs可以参考Mac配置Eigen库进行配置。

拟合原理

以二次曲线拟合为例，拟合曲线应满足以下方程：

a∗X2+b∗X+c=ya*X^2 + b*X + c = ya∗X2+b∗X+c=y

如要要拟合的4个点为：

(3, 6)

(5, 8)

(6, 12)

(7, 4)

则有：

即有：

AW=BA W = BAW=B

ATAW=ATBA^TAW = A^TBATAW=ATB

(ATA)−1ATAW=(ATA)−1ATB(A^TA)^ {-1}A^TAW = (A^TA)^{-1}A^TB(ATA)−1ATAW=(ATA)−1ATB

W=(ATA)−1ATBW = (A^TA)^{-1}A^TBW=(ATA)−1ATB

由上面最后一个等式利用矩阵的转置与求逆，则可以得出其拟合曲线的系数W矩阵。

准备数据

由于Python的Matplotlib库可以很好地可视化数据，所以选用Python来生成数据文件——points.txt。

代码如下，程序中设置的系数为a = 2.2, b = 1.4, c = -1.3：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设置点数
num = 100# 设置噪声系数
rate = 0# 生成数据
x = np.linspace(-10, 10, num)
y = []
a = 2.2
b = 1.4
c = -1.3for i in x:noise = np.random.random()temp = i + noise * ratey.append(a * pow(temp, 2) + b * temp + c)# 绘制曲线
plt.plot(x, y)
plt.show()# 写入文件
with open("./points.txt", 'w') as f:for i in range(num):f.write(str(x[i]))f.write("\t")f.write(str(y[i]))f.write("\n")

曲线为：

程序会在当前目录下生成points.txt文件。

C++最小二乘拟合代码

以下代码理论上可以完成N阶的曲线拟合，需要对参数N进行设置，并提供正确的数据点。

#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Dense>
#include <Eigen/Geometry>
#include <Eigen/Eigenvalues>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>using namespace std;int main() {// txt点数据文件路径const string fileName = "./points.txt";// 设置是几次拟合const int N = 2;// 创建两个vectorvector<float> x, y;// 读取文件ifstream f(fileName);if (!f) {cout << "数据文件打开失败" << endl;exit(EXIT_FAILURE);}float tempx, tempy;while (f >> tempx >> tempy) {x.push_back(tempx);y.push_back(tempy);}if (x.size() != y.size()) {cout << "数据文件内容有误" << endl;exit(EXIT_FAILURE);}// 创建A矩阵Eigen::MatrixXd A(x.size(), N + 1);for (unsigned int i = 0; i < x.size(); ++i) {  // 遍历所有点for (int n = N, dex = 0; n >= 1; --n, ++dex) {  // 遍历N到1阶A(i, dex) = pow(x[i], n);}A(i, N) = 1;  //}// 创建B矩阵Eigen::MatrixXd B(y.size(), 1);for (unsigned int i = 0; i < y.size(); ++i) {B(i, 0) = y[i];}// 创建矩阵WEigen::MatrixXd W;W = (A.transpose() * A).inverse() * A.transpose() * B;// 打印W结果cout << W << endl;
}

结果

程序输出为

2.2
1.4
-1.3

与设置的系数相吻合，但这是建立在噪声为0的情况下的结果，想要体验不同噪声对拟合结果的朋友可以在给出的Python程序中对rate参数进行修改。

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