题目地址：

https://www.luogu.com.cn/problem/P2708

题目描述：
有很多个硬币摆在一行，有正面朝上的，也有背面朝上的。正面朝上的用111表示，背面朝上的用000表示。现在要求从这行的第一个硬币开始，将从第一个硬币开始的前若干个硬币同时翻面，求如果要将所有硬币翻到正面朝上，最少要进行这样的操作多少次？

输入格式：
一个字符串，由000和111组成，表示硬币状态。

输出格式：
一个整数，表示要翻转的最少次数。

代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;int main() {string s;cin >> s;while (s.back() == '1') s.pop_back();if (!s.length()) {puts("0");return 0;}// 事实上下面的循环在求，去掉s末尾所有的1删除后，// 继续删除中间重复的连续的0或1，只保留一个，此时s的长度即为答案int t = 1;for (int i = 1; i < s.length(); i++)if (s[i] != s[i - 1])t++;cout << t << endl;return 0;
}

时间复杂度O(n)O(n)O(n)。

算法正确性证明：
设f(c1,c2,...,cn)f(c_1,c_2,...,c_n)f(c1,c2,...,cn)为对于硬币序列(c1,...,cn)(c_1,...,c_n)(c1,...,cn)所需翻转的最少次数。
先证明：若cn=1c_n=1cn=1，f(c1,c2,...,cn)=f(c1,c2,...,cn−1)f(c_1,c_2,...,c_n)=f(c_1,c_2,...,c_{n-1})f(c1,c2,...,cn)=f(c1,c2,...,cn−1)。因为左右序列前n−1n-1n−1个硬币状态相同，而左边多一个硬币，所以对于任意一个使得左边序列成为全朝上的操作序列q1q2...qsq_1q_2...q_sq1q2...qs，将其中翻转111 ~ nnn的操作都置换为翻转111 ~ n−1n-1n−1，得到新的操作序列q1′q2′...qs′q'_1q'_2...q'_sq1′q2′...qs′，此序列就可以将右边的硬币序列翻为全朝上，所以f(c1,c2,...,cn)≥f(c1,c2,...,cn−1)f(c_1,c_2,...,c_n)\ge f(c_1,c_2,...,c_{n-1})f(c1,c2,...,cn)≥f(c1,c2,...,cn−1)。由于cn=1c_n=1cn=1，所以任何一个把后者序列翻转为全朝上的操作，都可以将前者翻为全朝上，所以f(c1,c2,...,cn)≤f(c1,c2,...,cn−1)f(c_1,c_2,...,c_n)\le f(c_1,c_2,...,c_{n-1})f(c1,c2,...,cn)≤f(c1,c2,...,cn−1)。所以f(c1,c2,...,cn)=f(c1,c2,...,cn−1)f(c_1,c_2,...,c_n) = f(c_1,c_2,...,c_{n-1})f(c1,c2,...,cn)=f(c1,c2,...,cn−1)。既然如此，不妨设cn=0c_n=0cn=0，也就是将sss末尾的111 pop掉。如果sss变为空，显然结果是000。

设cn=cn−1=...=cs=0≠cs−1=1c_n=c_{n-1}=...=c_s=0\ne c_{s-1}=1cn=cn−1=...=cs=0=cs−1=1，由于末尾的背面朝上的硬币必然要翻，所以得到递推式f(c1,c2,...,cn)=f(¬c1,¬c2,...,¬cn)+1=f(¬c1,¬c2,...,¬cs−1)+1f(c_1,c_2,...,c_n) = f(\neg c_1,\neg c_2,...,\neg c_n) + 1=f(\neg c_1,\neg c_2,...,\neg c_{s-1}) + 1f(c1,c2,...,cn)=f(¬c1,¬c2,...,¬cn)+1=f(¬c1,¬c2,...,¬cs−1)+1（此处需要证明每个操作的先后次序是可以交换的。这本质上其实是二进制nnn维向量加法的交换律，是显然成立的。所以不妨先进行翻转111到nnn的操作），这样把问题又变为末尾为111的情况。不停递推下去，直到序列缩小为空。显然，由证明过程可以知道，对于硬币序列里任何长度连续的111或000，都可以等效的看为只有111个。而对于(c1,c2,...,cn)=(1,0,1,0,...,n%2)(c_1,c_2,...,c_n)=(1,0,1,0,...,n\%2)(c1,c2,...,cn)=(1,0,1,0,...,n%2)或(0,1,0,1,...,(n+1)%2)(0,1,0,1,...,(n+1)\%2)(0,1,0,1,...,(n+1)%2)，根据递推方程，f(1,0,1,0,...,n%2)=n−n%2f(1,0,1,0,...,n\%2)=n-n\%2f(1,0,1,0,...,n%2)=n−n%2，f(0,1,0,1,...,(n+1)%2)=n−(n+1)%2f(0,1,0,1,...,(n+1)\%2)=n-(n+1)\%2f(0,1,0,1,...,(n+1)%2)=n−(n+1)%2。

直观上理解，答案可以这样得到：先删除sss末尾的111，然后数有多少段连续的000和111。段数即为答案。

下面举一个例子以方便理解：
f(11001011)=f(110010)=1+f(001101)=1+f(00110)=2+f(11001)=2+f(1100)=3+f(0011)=3+f(00)=4+f(11)=4f(11001011)=f(110010)=1+f(001101)\\=1+ f(00110)=2+f(11001)=2+f(1100)\\=3+f(0011)=3+f(00)=4+f(11)=4f(11001011)=f(110010)=1+f(001101)=1+f(00110)=2+f(11001)=2+f(1100)=3+f(0011)=3+f(00)=4+f(11)=4容易看出来，110010111100101111001011去掉末尾的111后，有四段：11,00,1,011,00,1,011,00,1,0，答案就是444。

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