向量(矢量)叉乘(叉积)与点乘(点积)
矢量叉乘与点乘
- 点乘(点积)
- 定义式
- 点乘的几何意义(实际意义)
- 叉乘(叉积)
- 定义式
- 叉乘的几何意义(实际意义)
今天来介绍一下数学上的叉乘与点乘的意义。
点乘(点积)
定义式
我们先来说明一下点乘。这里以向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E举例。我们知道向量点乘的定义式为:
n⃗⋅E⃗=∣n⃗∣∣E⃗∣cosθ\vec{n}\cdot\vec{E}=\lvert \vec{n} \rvert \lvert \vec{E} \rvert \cos{\theta}n⋅E=∣n∣∣E∣cosθ
如下图所示,其中:
- n⃗\vec{n}n:做点乘运算的第一个矢量。
- E⃗\vec{E}E:做点乘运算的第二个矢量。
- θ\thetaθ:向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E的夹角。
- ∣n⃗∣\lvert \vec{n} \rvert∣n∣:做点乘运算的第一个矢量的模值。
- ∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣:做点乘运算的第二个矢量的模值。
点乘的几何意义(实际意义)
从上图可得,OAOAOA的长度即为向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上的投影大小。且OA=∣n⃗∣cosθOA =\lvert \vec{n} \rvert \cos{\theta}OA=∣n∣cosθ。再用这个结果乘以向量E⃗\vec{E}E的大小,我们可以理解为,将向量E⃗\vec{E}E的长度∣E⃗∣\lvert\vec{E}\rvert∣E∣扩大了∣n⃗∣cosθ\lvert\vec{n}\rvert\cos{\theta}∣n∣cosθ倍。
总结一下,即n⃗⋅E⃗\vec{n}\cdot\vec{E}n⋅E表示的是,将向量E⃗\vec{E}E的大小扩大向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上的投影长度大小的倍数。或者,也可以理解为将向量n⃗\vec{n}n的大小扩大向量E⃗\vec{E}E在向量n⃗\vec{n}n方向上的投影长度大小的倍数。这就是向量点乘的几何意义。
然而有一种特殊的情况,即向量E⃗\vec{E}E为单位向量。那么此时,我们可以将n⃗⋅E⃗\vec{n}\cdot\vec{E}n⋅E理解为向量n⃗\vec{n}n在向量E⃗\vec{E}E方向上投影的长度。
叉乘(叉积)
定义式
接下来,我们来说明一下叉乘。这里以向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E举例。
n⃗×E⃗=∣n⃗∣∣E⃗∣sinθ\vec{n}\times\vec{E}=\lvert \vec{n} \rvert \lvert \vec{E} \rvert \sin{\theta}n×E=∣n∣∣E∣sinθ
其中:
- n⃗\vec{n}n:做叉乘运算的第一个矢量。
- E⃗\vec{E}E:做叉乘运算的第二个矢量。
- θ\thetaθ:向量n⃗\vec{n}n与向量E⃗\vec{E}E的夹角。
- ∣n⃗∣\lvert \vec{n} \rvert∣n∣:做叉乘运算的第一个矢量的模值。
- ∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣:做叉乘运算的第二个矢量的模值。
叉乘的几何意义(实际意义)
如上图所示,h=∣n⃗∣sinθh = \lvert \vec{n} \rvert \sin{\theta}h=∣n∣sinθ表示平行四边形底边上的高,进一步乘以底边的长度∣E⃗∣\lvert \vec{E} \rvert∣E∣即可得到平行四边形的面积,因此我们说,两个向量叉乘的几何意义表示的是由两个向量模的长度作为平行四边形两条边的平行四边形的面积。
如果大家觉得有用,就请点个赞吧~
向量(矢量)叉乘(叉积)与点乘(点积)相关推荐
- 计算几何——向量的叉乘、点乘、夹角
汇总篇:计算几何汇总 一.向量的叉乘 向量p=(x1,y1), q=(x2,y2) 则 pxq=x1.y2-x2.y1 pxq= - qxp 叉乘的大小等于于2倍三角形面积. 右手法则:手掌表示p向量 ...
- 向量:使用点积和叉积
目录 向量:使用点积和叉积 问题 解决方案 点积 叉积 实际应用 向量:使用点积和叉积
- 四维向量叉乘matlab,请教:四维或者更高维向量的叉乘定义
叉乘的集合意义是已知道N维空间中的N-1个基向,可以求出与这N-1个基向量正交的另一个基向量吧. 有的书上说叉乘只在3维上有定义,就是vec1和vec2相乘得: (vec1.y * vec2. ...
- 向量的点积和叉积 计算示例及几何意义
点积的结果是一个标量,叉积的结果仍然是一个向量! 点积(dot product) 计算示例 几何意义 叉积(cross product) 向量计算示例 向量长度 向量方向:垂直于向量a和向量b构成的平 ...
- 计算机图形常用数学之向量运算 向量的模 向量的点乘内积 向量的叉乘外积 向量的模向量的加减法 向量归一化
向量 已知a.b.c是三个向量 向量的投影 投影过程 a向量在b向量上的投影就是作a到b的垂线,交点就是投影坐标a向量在b向量上的投影就是作a到b的垂线,交点就是投影坐标a向量在b向量上的投影就是作a ...
- 【线性代数的本质|笔记】从线性变换的角度看向量的点积和叉积
点积与叉积 引入点积的标准方法 定义:对于给定的两个同维度的向量求解点积,就是将向量相对应的维度的分量相乘再相加. 几何意义:两个向量w和v的点积,可以看成是向量w在v方向的投影和v长度的乘积:或者是 ...
- MATLAB画风速带有方向的矢量图程序,Matlab向量矢量图
前言 目前在做图像分割时,有相关向量场图的表示,顺便整理一下向量场图的matlab实现方法,整理自:胖大星越来越胖的微博,http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e3213f3 ...
- 矢量的二重叉积公式的推导
- 向量叉积和点积混合运算_【转】向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读...
[转]向量点乘(内积)和叉乘(外积.向量积)概念及几何意义解读 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组: 向量的点乘,也叫向量的内积.数量积,对两个向量执行点乘 ...
最新文章
- 如何在树莓派上进行python编程_《树莓派Python编程指南》怎么样_目录_pdf在线阅读 - 课课家教育...
- C# v7.0版本中的local function
- php传中文给Java_完美解决PHP中文乱码(转) - - JavaEye技术网站
- Symbian和C++ SDK开发入门之部署
- linux 彻底定制指南,8.3. Linux-2.6.11.12 《Linux 彻底定制指南》[翻译:金步国]...
- 直接拿来用,10个PHP代码片段
- 【论文解读】图文并茂带你细致了解ELMo的各种细节
- Linux运维之ntpdate同步网络时间
- 基于单片机烟雾温湿度甲醛监测设计
- MapTileDownloader 全能电子地图下载器
- Windows Server 2013 安装zune 4.8中文版
- 淘宝客搜索链接组成详解
- Cocos Creator性能优化-4-内存优化
- WebStorm中TODO的作用
- Python 字符串重复判断
- [推广]AboutCG Python商业教程发布
- 【新手入门】自己动手搭建云服务器
- leetcode 812. Largest Triangle Area(python)
- 织梦后台验证码显示不出来-处理办法
- 向日葵远程控制引起惠普战笔记本亮度无法调节问题
热门文章
- dw中怎么在html中加css,在Dreamweaver中编辑CSS规则的步骤
- 当前有那些胎压监测芯片,您知道吗?--TPMS芯片
- 实时数据库学习(1)
- FFMPEG编码实现:pcm编码为acc
- 大众VASS、西门子SICAR...汽车行业控制标准之福特FAST
- C#创建注册表项时会创建到HKEY_LOCAL_MACHINE\SOFTWARE\WOW6432Node下的问题
- serializable接口的作用是什么?
- 计算机串口无法发数,单片机向电脑发送数据,为什么串口调试助手收不到数据 求助...
- 用python编写最简单的记事本_利用Python制作一个“电子记事本”
- 面试串讲1:面试技巧及语言基础